[论文解读] Computational Complexity of Tensor Nuclear Norm.

Shmuel Friedland, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 16被引用 14

一句话总结

本文通过利用范数与其对偶之间的对偶性，证明了近似张量的核范数是NP难的，表明核范数球的弱成员问题为NP难当且仅当其对偶也如此。此外，本文通过证明密度矩阵的双粒子可分性等价于其对应的四阶张量具有单位核范数，将该结果与量子信息联系起来。

ABSTRACT

Abstract. The main result of this paper is that the weak membership problem in the unit ball of a given norm is NP-hard if and only if the weak membership problem in the unit ball of the dual norm is NP-hard. Equivalently, the approximation of a given norm is polynomial time if and only if the approximation of the dual norm is polynomial time. Using the NP-hardness of the approximation of spectral norm of tensors we prove that the approximation of nuclear norm of tensors is NP-hard. In addition, we show that bipartite separability of a density matrix is equivalent its corresponding 4-tensor having unit nuclear norm, relating these results to quantum information theory. 1.

研究动机与目标

• 确立近似张量核范数的计算复杂性。
• 研究一个范数的弱成员问题与其对偶之间的关系。
• 将张量核范数的复杂性与量子信息理论联系起来，特别是密度矩阵的双粒子可分性。
• 通过该方法证明张量谱范数近似是NP难的，从而推断出核范数的难解性。

提出的方法

• 利用范数与其对偶之间的对偶性，证明一个范数的弱成员问题为NP难，则其对偶也必为NP难。
• 应用已知的张量谱范数近似为NP难的结果，推导出核范数近似的NP难性。
• 构建密度矩阵的四阶张量表示，以将可分性与核范数至多为一联系起来。
• 使用弱成员问题形式化范数近似的决策版本，从而支持复杂性理论分析。
• 依赖于双粒子可分性与对应四阶张量具有单位核范数之间的等价性。
• 利用范数近似与对偶范数近似之间的多项式时间等价性，推导出难解性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量核范数的近似是否在计算上是困难的？
• RQ2 近似一个范数的复杂性与其对偶范数的复杂性之间有何关系？
• RQ3 能否利用张量谱范数近似的NP难性来推断核范数的难解性？
• RQ4 张量核范数与量子态可分性之间是否存在联系？
• RQ5 四阶张量的单位核范数是否精确对应于其关联密度矩阵的双粒子可分性？

主要发现

• 通过谱范数近似的NP难性和对偶性，确立了张量核范数近似是NP难的。
• 核范数球的弱成员问题为NP难当且仅当其对偶范数的弱成员问题也为NP难。
• 范数近似可在多项式时间内求解当且仅当其对偶范数近似也可在多项式时间内求解。
• 密度矩阵的双粒子可分性等价于其对应四阶张量的核范数至多为一。
• 该结果在张量范数的计算复杂性与量子纠缠检测之间建立了直接桥梁。
• 对偶性框架为在对偶范数近似问题之间转移NP难性结果提供了通用工具。