[论文解读] Computing the obstacle number of a plane graph

Matthew Johnson, Deniz Sarıöz|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过从平面点覆盖问题约化，证明了计算平面图的障碍数问题是 NP-难的，同时建立了该问题的固定参数可追踪性（FPT）并存在多项式时间近似方案（PTAS），方法是通过解值保持的约化将问题转化为最大度为3的平面点覆盖问题。关键贡献在于揭示了平面图中障碍表示与点覆盖之间的紧密联系。

ABSTRACT

An obstacle representation of a plane graph G is V(G) together with a set of opaque polygonal obstacles such that G is the visibility graph on V(G) determined by the obstacles. We investigate the problem of computing an obstacle representation of a plane graph (ORPG) with a minimum number of obstacles. We call this minimum size the obstacle number of G. First, we show that ORPG is NP-hard by reduction from planar vertex cover, resolving a question posed by [8]. Second, we give a reduction from ORPG to maximum degree 3 planar vertex cover. Since this reduction preserves solution values, it follows that ORPG is fixed parameter tractable (FPT) and admits a polynomial-time approximation scheme (PTAS).

研究动机与目标

• 确定计算平面图障碍数的计算复杂性。
• 解决关于障碍表示是否存在更好近似或最优算法的开放问题。
• 为障碍表示问题建立固定参数可追踪性（FPT）和多项式时间近似方案（PTAS）。
• 提供从障碍表示到最大度为3的平面点覆盖问题的解值保持约化。
• 证明障碍数等价于在变换后的对偶图结构中的点覆盖问题。

提出的方法

• 将平面点覆盖问题约化为障碍表示问题（ORPG），以证明 NP-难性。
• 通过引入环和路径，将一般平面图转换为最大度为3的平面图，同时保持点覆盖大小不变。
• 构造一个平面图 $G'$，使得 $G'$ 的障碍表示与变换后图 $G^3$ 的点覆盖一一对应。
• 定义一个对偶图 $\hat{G}$，其中每条边对应于原图中的一个菱形（两个相邻的空三角形，处于凸位置）。
• 利用对偶图 $\hat{G}$ 将障碍选择建模为点覆盖问题，其中每个面对应一个潜在的障碍。
• 应用已知的最大度为3的平面点覆盖问题的 FPT 和 PTAS 算法来求解障碍表示问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算平面图的障碍数是否为 NP-难问题？
• RQ2 障碍表示问题能否被高效近似，是否具有多项式时间近似方案（PTAS）？
• RQ3 障碍表示问题是否关于障碍数参数化为固定参数可追踪（FPT）？
• RQ4 是否存在从障碍表示到具有有利结构特性的已知 NP-难问题的解值保持约化？
• RQ5 能否利用平面点覆盖问题的已知算法高效计算障碍数？

主要发现

• 障碍表示问题（ORPG）是 NP-难的，即使在限制为平面图时也成立，这是通过从平面点覆盖问题的约化所证明的。
• ORPG 存在多项式时间近似方案（PTAS），因为其可约化为加权最大度为3的平面点覆盖问题，而后者已知具有 PTAS。
• ORPG 是固定参数可追踪（FPT）的，当以障碍数 $k$ 为参数时，其时间复杂度为 $O(2^{4\sqrt{3k}}n)$ 或 $1.1616^k n^{O(1)}$，利用了平面点覆盖问题的 FPT 算法。
• 从 ORPG 到最大度为3的平面点覆盖问题的约化保持了解值，确保一个问题的最优解可直接映射到另一个问题的最优解。
• 平面图中的每条非边必须穿过一个菱形（两个处于凸位置的相邻空三角形）的公共边，这使得可以构建用于约化的对偶图 $\hat{G}$。
• 平面图的障碍数等于在构造的对偶图 $\hat{G}$ 中最小点覆盖的大小，其中 $\hat{G}$ 的每条边对应于原图中的一个菱形。