[论文解读] Computing the partition function of the Sherrington-Kirkpatrick model is hard on average

David Gamarnik, Eren C. Kızıldağ|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文建立了在具有高斯耦合和随机外场的Sherrington-Kirkpatrick自旋玻璃模型中，精确计算划分函数的平均情况计算困难性。在有限精度和实值计算模型下，证明了除非P = #P，否则不存在多项式时间算法能对非可忽略比例的输入精确计算划分函数，该证明利用了随机自归约性、列表解码以及对数正态分布的总变差界。

ABSTRACT

We establish the average-case hardness of the algorithmic problem of exact computation of the partition function associated with the Sherrington-Kirkpatrick model of spin glasses with Gaussian couplings and random external field. In particular, we establish that unless $P= \#P$, there does not exist a polynomial-time algorithm to exactly compute the partition function on average. This is done by showing that if there exists a polynomial time algorithm, which exactly computes the partition function for inverse polynomial fraction ($1/n^{O(1)}$) of all inputs, then there is a polynomial time algorithm, which exactly computes the partition function for all inputs, with high probability, yielding $P=\#P$. The computational model that we adopt is {\em finite-precision arithmetic}, where the algorithmic inputs are truncated first to a certain level $N$ of digital precision. The ingredients of our proof include the random and downward self-reducibility of the partition function with random external field; an argument of Cai et al. \cite{cai1999hardness} for establishing the average-case hardness of computing the permanent of a matrix; a list-decoding algorithm of Sudan \cite{sudan1996maximum}, for reconstructing polynomials intersecting a given list of numbers at sufficiently many points; and near-uniformity of the log-normal distribution, modulo a large prime $p$. To the best of our knowledge, our result is the first one establishing a provable hardness of a model arising in the field of spin glasses. Furthermore, we extend our result to the same problem under a different {\em real-valued} computational model, e.g. using a Blum-Shub-Smale machine \cite{blum1988theory} operating over real-valued inputs.

研究动机与目标

• 建立在Sherrington-Kirkpatrick自旋玻璃模型中精确计算划分函数的平均情况计算复杂度。
• 证明在有限精度算术下，不存在多项式时间算法能对非可忽略比例的输入精确计算划分函数。
• 将困难性结果扩展至实值Blum-Shub-Smale计算模型。
• 证明在常数比例输入上成功意味着在所有输入上成功，从而导致P与#P坍缩。
• 首次通过严格的复杂性理论论证，为自旋玻璃模型提供可证明的困难性结果。

提出的方法

• 利用具有随机外场的划分函数的随机自归约性和向下自归约性。
• 应用Sudan [Sud96] 的列表解码算法，以重构与多个点相交的多项式。
• 使用凸扰动下对数正态分布的总变差距离界。
• 利用Berlekamp-Welch算法进行多项式重构中的纠错。
• 通过总变差距离的耦合论证，关联不同参数下的分布。
• 将有限精度截断与复杂性理论归约相结合，建立平均情况困难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限精度算术下，SK模型划分函数的精确计算在平均情况下是否困难？
• RQ2 能否将一个在1/n^O(1)比例输入上成功的多项式时间算法放大至在所有输入上成功，从而意味着P = #P？
• RQ3 平均情况困难性结果是否可扩展至实值计算模型，如Blum-Shub-Smale机？
• RQ4 划分函数的自归约性如何实现困难性的放大？
• RQ5 对大素数取模下对数正态分布的近似均匀性在证明中起什么作用？

主要发现

• 在具有高斯耦合和随机外场的SK模型中，其划分函数在有限精度算术下的精确计算是平均情况困难的。
• 如果一个多项式时间算法能在1/n^O(1)比例的输入上精确计算划分函数，则P = #P。
• 在实值Blum-Shub-Smale模型下，若算法在3/4 + 1/n^O(1)比例的输入上成功，则相同困难性结果依然成立。
• 该证明依赖于随机自归约性以及在凸扰动下对数正态分布的总变差界。
• 作者首次通过复杂性理论技术，为自旋玻璃模型建立了可证明的平均情况困难性结果。
• 该结果在不同计算模型下均具有鲁棒性，包括有限精度和实值计算。