[论文解读] Concatenated Quantum Codes

Emanuel Knill, Raymond Laflamme|ArXiv.org|Aug 8, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 63

一句话总结

本文提出了一种串联量子码作为容错方法，用于在存储或传输时间与距离任意延长的情况下保护逻辑量子比特，采用具有有界误差幅度的物理操作进行分层错误恢复。关键结果是一个阈值定理，表明若基本门的误差不超过 $ c\epsilon $，且存储器/信道元件的误差不超过 $ \epsilon $，则可通过时间或距离的多项式开销实现任意长时间的存储或长距离传输。

ABSTRACT

One of the main problems for the future of practical quantum computing is to stabilize the computation against unwanted interactions with the environment and imperfections in the applied operations. Existing proposals for quantum memories and quantum channels require gates with asymptotically zero error to store or transmit an input quantum state for arbitrarily long times or distances with fixed error. In this report a method is given which has the property that to store or transmit a qubit with maximum error $ε$ requires gates with error at most $cε$ and storage or channel elements with error at most $ε$, independent of how long we wish to store the state or how far we wish to transmit it. The method relies on using concatenated quantum codes with hierarchically implemented recovery operations. The overhead of the method is polynomial in the time of storage or the distance of the transmission. Rigorous and heuristic lower bounds for the constant $c$ are given.

研究动机与目标

• 解决在长时间存储或长距离传输过程中，量子态免受退相干和操作误差影响的挑战。
• 克服现有量子误差纠正方法的局限性，即要求门误差趋于零才能实现任意时间或距离的保护。
• 证明基本门的恒定阈值误差率足以实现与时间或距离无关的极低最终误差。
• 表明时间或距离的多项式开销足以实现容错量子通信与存储。

提出的方法

• 使用串联量子码，结合分层编码与恢复操作，以抑制多级错误传播。
• 采用超算符形式化方法，对操作误差及其在量子电路中的传播进行建模。
• 在每一级使用一纠错码（例如五量子比特码）进行错误恢复，且恢复操作的误差受基本门误差的常数倍约束。
• 采用递归编码方案，其中逻辑量子比特被编码在更大的码块中，每个码块由下一级码保护。
• 使用基于振幅的误差分析方法，以限制恢复与解码操作后的总误差。
• 证明最终误差振幅受 $ \epsilon_c = c\epsilon_d + O(\epsilon_d^{e+1}) $ 限制，其中 $ \epsilon_d $ 为物理误差，$ c $ 为与时间或距离无关的常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用有界误差的物理操作，实现量子态在任意长时间或距离下的存储或传输？
• RQ2 实现容错量子存储或通信时，基本量子门的最大可允许误差是多少？
• RQ3 所需开销是否随时间或距离呈多项式增长，而非指数增长？
• RQ4 门的恒定阈值误差率是否足以抑制误差，而与操作次数无关？
• RQ5 误差界限如何依赖于编码方式与恢复程序的选择？

主要发现

• 存在一个阈值：若基本门误差被限制在 $ c\epsilon $ 以内，且物理存储器/信道误差不超过 $ \epsilon $，则可实现最终误差 $ \leq \epsilon $ 的任意存储或传输。
• 所需开销随时间或距离呈多项式增长，而非指数增长，使该方法在长期应用中具有可行性。
• 对于五量子比特码，方法有效所需的阈值为 $ \epsilon_d \leq 1/20 $，当 $ \epsilon \geq 1/20 $ 时，门误差需满足 $ \epsilon_p \leq 1/400 $。
• 当 $ \epsilon < 1/20 $ 时，门误差界限变为 $ \epsilon_p \leq \epsilon(1 - 60\epsilon^2)/30 $，表明在误差更小时要求更宽松。
• 该方法可实现容错量子通信与存储，仅需使用间隔均匀的简单量子中继器，并具备足够并行路径。
• 耗散启发法建议更乐观的误差阈值约为 $ 0.5 \times 10^{-4} $，比严格推导出的 $ 2.5 \times 10^{-8} $ 更易实现。