[论文解读] Concentration of the adjacency matrix and of the Laplacian in random graphs with independent edges

Roberto I. Oliveira|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2009

Graph theory and applications参考文献 56被引用 158

一句话总结

该论文为具有独立边概率的随机图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵建立了精确的集中不等式，表明当最小期望度超过 ω(ln n) 时，这些矩阵会以高概率集中在对应于期望加权图的矩阵周围。其关键贡献是一种新型矩阵鞅集中不等式，该不等式推广了弗里德曼的标量结果，从而能够对谱范数施加紧致界，并应用于键渗流和非均匀随机图模型。

ABSTRACT

Consider any random graph model where potential edges appear independently, with possibly different probabilities, and assume that the minimum expected degree is omega(ln n). We prove that the adjacency matrix and the Laplacian of that random graph are concentrated around the corresponding matrices of the weighted graph whose edge weights are the probabilities in the random model. While this may seem surprising, we will see that this matrix concentration phenomenon is a generalization of known results about the Erös-Rényi model. In particular, we will argue that matrix concentration is implicit the theory of quasi-random graph properties. We present two main applications of the main result. In bond percolation over a graph G, we show that the Laplacian of the random subgraph is typically very close to the Laplacian of G. As a corollary, we improve upon a bound for the spectral gap due to Chung and Horn that was derived via much more complicated methods. In inhomogeneous random graphs, there are points X_1,...,X_n uniformly distributed on the interval [0,1] and each pair is connected with probability p kappa(X_i,X_j). We show that if \ln n/n<< p<< 1 and kappa is bounded, then the adjacency matrix of the random graph is close to an integral operator defined in terms of kappa. Our main proof tool is a new concentration inequality for matrix martingales that generalizes Freedman's inequality for the standard scalar setting.

研究动机与目标

• 在具有独立边形成的随机图中，建立邻接矩阵和图拉普拉斯矩阵以高概率集中在其期望对应物周围的结论。
• 发展一种新的矩阵鞅集中不等式，将弗里德曼的标量不等式推广至矩阵情形。
• 将集中结果应用于键渗流，改进对渗流图谱间隙的界。
• 证明在平均度为 ω(ln n) 的非均匀随机图中，邻接矩阵可由由核 κ 定义的积分算子近似。
• 在较弱的最小度条件下，展示邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的典型行为可被其期望值良好近似。

提出的方法

• 推导出具有有界差分的鞅的新矩阵集中不等式，将弗里德曼不等式扩展至厄米随机矩阵情形。
• 使用围线积分和预解式分析，控制与两矩阵相关联的投影算子之间差值的谱范数。
• 应用预解式恒等式和诺伊曼级数展开，控制扰动矩阵预解式之间的差异。
• 利用谱定理和特征值交错关系，将矩阵扰动与谱投影变化联系起来。
• 将矩阵集中结果应用于具有独立边的随机图，假设最小期望度为 ω(ln n)。
• 使用积分算子近似，将非均匀随机图的邻接矩阵与大 n 极限下的核函数 κ 关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有独立边的随机图的邻接矩阵会以高概率集中在期望加权图的邻接矩阵周围？
• RQ2 在具有异质边概率的稀疏随机图模型中，如何建立图拉普拉斯矩阵的矩阵集中性？
• RQ3 能否发展一种新的矩阵鞅不等式，将弗里德曼的标量不等式推广至矩阵情形？
• RQ4 键渗流在多大程度上保持原图的谱性质？这一过程如何通过矩阵集中性进行量化？
• RQ5 在具有核 κ 的非均匀随机图中，邻接矩阵在多大程度上可由由 κ 定义的积分算子近似？

主要发现

• 具有独立边的随机图的邻接矩阵以高概率集中在期望加权图的邻接矩阵周围，误差为 O(√(Δ ln n))，其中 Δ 为最大期望度。
• 拉普拉斯矩阵以高概率集中在其中心对应物周围，误差为 O(√(ln n / d))，其中 d 为最小期望度。
• 在最小期望度为 ω(ln n) 的图上进行键渗流时，渗流图的拉普拉斯矩阵通常接近于 p 倍的原始拉普拉斯矩阵，从而改进了对谱间隙的先前界。
• 新提出的矩阵鞅集中不等式为分析具有独立条目的随机矩阵的谱性质提供了通用工具，其适用范围不仅限于图论。
• 在平均度为 ω(ln n) 的非均匀随机图中，在较弱的正则性条件下，邻接矩阵可被由核 κ 定义的积分算子良好近似。
• 对于稠密图和准随机模型，这些集中界在定性上是紧致的，因为当集中不成立时，这些界恰好变为平凡。