[论文解读] Conditions for a quadratic quantum speedup in nonlinear transforms with applications to energy contract pricing

Gabriele Agliardi, Corey O’Meara+9 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出了一种混合量子-经典算法，通过多项式逼近和量子Hadamard积（QHP）高效评估双线性风险函数，在存在高效数据加载酉操作的前提下，对二阶多项式逼近实现了二次量子加速（最多多对数因子）。该方法利用动态电路和改进的双向编码，降低了电路深度，提升了在近期量子硬件上的性能。

ABSTRACT

Computing nonlinear functions over multilinear forms is a general problem with applications in risk analysis. For instance in the domain of energy economics, accurate and timely risk management demands for efficient simulation of millions of scenarios, largely benefiting from computational speedups. We develop a novel hybrid quantum-classical algorithm based on polynomial approximation of nonlinear functions, computed through Quantum Hadamard Products, and we rigorously assess the conditions for its end-to-end speedup for different implementation variants against classical algorithms. In our setting, a quadratic quantum speedup, up to polylogarithmic factors, can be proven only when forms are bilinear and approximating polynomials have second degree, if efficient loading unitaries are available for the input data sets. We also enhance the bidirectional encoding, that allows tuning the balance between circuit depth and width, proposing an improved version that can be exploited for the calculation of inner products. Lastly, we exploit the dynamic circuit capabilities, recently introduced on IBM Quantum devices, to reduce the average depth of the Quantum Hadamard Product circuit. A proof of principle is implemented and validated on IBM Quantum systems.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展的量子算法，用于计算风险分析中的非线性函数，特别是在能源合约定价中的应用。
• 解决由于量子操作的线性特性，难以高效表示非线性性的挑战。
• 在评估多重线性形式的多项式函数时，实现相对于经典蒙特卡洛方法的量子加速。
• 通过改进的双向正交编码（BOE）方案，优化电路深度与宽度的权衡。
• 在真实IBM量子设备上，利用动态电路能力对方法进行实验验证。

提出的方法

• 该算法使用多项式逼近来表示非线性函数，使其可通过量子电路进行评估。
• 采用量子Hadamard积（QHP）来计算振幅的幂次，构成多项式项评估的基础。
• 提出一种改进的双向正交编码（BOE），以调节电路深度与宽度之间的权衡，提升可扩展性。
• 通过中间测量实现动态停止，以减少平均电路深度，利用了IBM量子处理器上动态电路的最新进展。
• 使用量子振幅估计算法（QAE）或其变体（如IQAE）来估计多项式最终值，确保高精度。
• 通过系统比较五种实现变体，选定变体(c)作为最优速度提升方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在使用多项式逼近的量子电路中，对双线性风险函数的评估实现二次量子加速？
• RQ2 不同量子电路实现方式——特别是编码方式、电路深度和QAE变体——如何影响整体性能与复杂度？
• RQ3 动态电路能力在减少风险评估量子算法的平均电路深度方面有何影响？
• RQ4 改进的双向正交编码如何改善量子算法中电路宽度与深度之间的权衡？
• RQ5 在何种条件下，所提出的算法能实现相对于经典蒙特卡洛方法的速度提升？

主要发现

• 当存在高效数据加载酉操作时，对双线性形式的二阶多项式逼近可实现二次量子加速（最多多对数因子）。
• 优化后的变体(c)的时间复杂度为 $ O(C_{\text{c,load}}(N) + C_{\text{d,load}}(N)N^{K/2 - 1/2}\lg N) $，其中 $ K=2 $，当 $ C_{\text{d,load}}(N) \ll N^{1/2} $ 时可实现速度提升。
• 通过中间测量实现的动态停止可降低平均电路深度，提升在近期设备上的性能。
• 改进的双向正交编码使电路深度与宽度的权衡控制更加精确，并支持高效的内积计算。
• 该算法在IBM量子系统上通过实验得到验证，当精度适当前置时，误差随问题规模增加保持一致的缩放特性。
• 对于 $ K=2 $，变体(c)在时间复杂度上优于经典基准和其他量子变体；而对于更高阶多项式（$ K=3 $），仅相对于经典方法实现对数级改进。