[论文解读] Conformal field theory at central charge c=0: a measure of the indecomposability (b) parameters

Jérôme Dubail, Jesper Lykke Jacobsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用 40

一句话总结

该论文提出了一种数值方法，用于测量对共形场论中不可约性进行量化的对数CFT参数 $ b $，该参数适用于中心电荷 $ c = 0 $ 的情形。通过构建晶格态 $ L_{-2}|0\rangle $，控制晶格内积，并分析哈密顿量与转移矩阵中的若尔当块，作者在XXZ/超对称表示中计算出聚合物的 $ b = \frac{5}{6} $，渗流的 $ b = -\frac{5}{8} $；而在渗流的几何表示中未发现若尔当块。

ABSTRACT

A good understanding of conformal field theory (CFT) at c=0 is vital to the physics of disordered systems, as well as geometrical problems such as polymers and percolation. Steady progress has shown that these CFTs should be logarithmic, with indecomposable operator product expansions, and indecomposable representations of the Virasoro algebra. In one of the earliest papers on the subject, V. Gurarie introduced a single parameter b to quantify this indecomposability in terms of the logarithmic partner t of the stress energy tensor T. He and A. Ludwig conjectured further that b=-5/8 for polymers and b=5/6 for percolation. While a lot of physics may be hidden behind this parameter - which has also given rise to a lot of discussions - it had remained very elusive up to now, due to the lack of available methods to measure it experimentally or numerically, in contrast say with the central charge. We show in this paper how to overcome the many difficulties in trying to measure b. This requires control of a lattice scalar product, lattice Jordan cells, together with a precise construction of the state L_{-2}|0>. The final result is that b=5/6 for polymers. For percolation, we find that b=-5/8 within an XXZ or supersymmetric representation. In the geometrical representation, we do not find a Jordan cell for L_0 at level two (finite-size Hamiltonian and transfer matrices are fully diagonalizable), so there is no b in this case.

研究动机与目标

• 为解决长期存在的测量 $ c=0 $ CFT 中量化不可约性的对数CFT参数 $ b $ 的问题。
• 开发一种能够测量 $ b $ 的数值方法，尽管该参数在古拉里-路德维希猜想中具有核心作用，但此前其测量仍具挑战性。
• 阐明表示形式（特别是XXZ、超对称和几何表示）在决定 $ b $ 的存在性与取值中的作用。
• 研究晶格模型中哈密顿量与转移矩阵的若尔当块结构是否能正确捕捉维拉索罗代数表示的连续极限行为。

提出的方法

• 利用晶格维拉索罗代数及其对真空态的作用，高精度地构建晶格态 $ L_{-2}|0\rangle $。
• 控制晶格内积，以确保与连续CFT内积结构的一致性。
• 分析不同表示（XXZ、超对称、几何）中哈密顿量与转移矩阵的若尔当块结构，以检测其非可对角化性。
• 利用在存在若尔当块时，OPE异常参数 $ b $ 与晶格 $ L_0 $ 生成元矩阵元之间的关系。
• 从涉及态 $ L_{-2}|0\rangle $ 的矩阵元计算 $ b(L) $，并确保其与辅助参数 $ y \neq 1 $ 无关。
• 在不同表示间比较结果，以确定 $ b $ 是表示依赖的还是普遍的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ c=0 $ CFT 中，聚合物的对数参数 $ b $ 的数值是多少？
• RQ2 在XXZ或超对称表示中，渗流的 $ b $ 参数是否取值为 $ -\frac{5}{8} $？
• RQ3 为何在渗流的几何表示中未观察到若尔当块？这对 $ b $ 的存在性有何含义？
• RQ4 能否利用 $ L_{-2}|0\rangle $ 的晶格构造与内积来可靠地测量对数CFT中的 $ b $ ？
• RQ5 Temperley-Lieb代数的不同表示形式（图示、顶点、XXZ）如何影响若尔当块的出现及 $ b $ 的取值？

主要发现

• 参数 $ b $ 被数值测量为 $ \frac{5}{6} $（聚合物），证实了古拉里-路德维希猜想。
• 对于渗流，在XXZ与超对称表示中，$ b = -\frac{5}{8} $ 得到确认，此时哈密顿量与转移矩阵表现出非可对角化的若尔当块。
• 在渗流的几何表示中，有限尺寸的哈密顿量与转移矩阵完全可对角化，表明不存在若尔当块，因此该情况下 $ b $ 参数无定义。
• 该方法计算出的 $ b $ 值与构造态 $ L_{-2}|0\rangle $ 时使用的辅助参数 $ y $ 无关，证实了方法的一致性。
• 该方法成功克服了以往测量 $ b $ 的障碍，表明通过若尔当块结构与内积控制，晶格模型可用于探测连续极限中的 $ b $ 参数。
• 结果表明，$ b $ 的存在性依赖于表示形式：在XXZ/超对称模型中存在 $ b $，但在渗流的几何表示中不存在。