[论文解读] Congruence B-Orbits and the Bruhat Poset of Involutions of the Symmetric Group

Eli Bagno, Yonah Cherniavsky|ArXiv.org|Dec 9, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文通过可逆双线性型作用于对称矩阵的合同轨道，建立了对称群中对合元素的Bruhat偏序集的几何与组合表征。引入基于对称部分对合的秩控制矩阵的秩函数，证明该偏序集是分次的，并给出轨道闭包维数的两个组合公式，这些公式推广了Incitti的结果，并统一处理了对称、反对称及一般部分置换的情形。

ABSTRACT

We study the poset of Borel congruence classes of symmetric matrices ordered by containment of closures. We give a combinatorial description of this poset and calculate its rank function. We discuss the relation between this poset and the Bruhat poset of involutions of the symmetric group.

研究动机与目标

• 通过Borel子群在对称矩阵上通过合同作用，提供对称群中对合元素的Bruhat偏序集的几何解释。
• 定义并表征按轨道闭包包含关系排序的对称矩阵B-合同轨道的偏序集。
• 为该偏序集的秩函数推导一个组合公式，将其与轨道闭包的维数相联系。
• 将该框架推广至部分置换和反对称矩阵，通过秩控制矩阵展示统一的方法。
• 利用几何与组合方法，重新推导并恢复Incitti关于对合元素的Bruhat偏序集的分次性与秩函数结果。

提出的方法

• 定义Borel子群 $\mathbb{B}_n(\mathbb{C})$ 在复对称 $n \times n$ 矩阵空间上的合同作用，形式为 $S \mapsto B^t S B$。
• 通过部分 $S_n$-对合（每行每列至多一个1的对称0-1矩阵）对轨道进行索引，记每个轨道为 $\mathcal{C}_\pi$。
• 对矩阵 $X$ 引入秩控制矩阵 $R(X)$，其中 $r_{kl} = \text{rank}(X_{kl})$ 表示左上角 $k \times l$ 子矩阵的秩。
• 定义参数 $\mathfrak{D}(\pi)$ 为部分对合 $\pi$ 的秩控制矩阵上三角部分中沿对角线的相等个数。
• 证明轨道 $\mathcal{C}_\pi$ 闭包的维数为 $\frac{n^2 + n}{2} - \mathfrak{D}(\pi)$，其中 $\frac{n^2 + n}{2}$ 为对称矩阵空间的维数。
• 通过在所有对角线和严格上三角部分分别定义类似参数 $\mathfrak{E}(\pi)$ 和 $\mathfrak{A}(\pi)$，将框架推广至非对称与反对称情形，分别得到维数公式 $n^2 - \mathfrak{E}(\pi)$ 和 $\frac{n^2 - n}{2} - \mathfrak{A}(\pi)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Borel子群在对称矩阵上的合同作用，几何地解释对称群中对合元素的Bruhat偏序集？
• RQ2 何种组合不变量控制了对称矩阵B-合同轨道闭包的维数？
• RQ3 部分对合偏序集的秩函数如何与轨道闭包的几何结构相关联？
• RQ4 是否可将用于对称矩阵的框架推广至非对称与反对称矩阵？
• RQ5 在秩控制矩阵中沿对角线计数相等个数的参数，在多大程度上统一了对称、反对称与一般部分置换情形下的维数公式？

主要发现

• 对称矩阵B-合同轨道的偏序集同构于按轨道闭包包含关系排序的部分对合的偏序集。
• B-合同轨道 $\mathcal{C}_\pi$ 闭包的维数为 $\frac{n^2 + n}{2} - \mathfrak{D}(\pi)$，其中 $\mathfrak{D}(\pi)$ 为部分对合 $\pi$ 的秩控制矩阵上三角部分中沿对角线的相等个数。
• 部分对合的偏序集是分次的，其秩函数等于轨道闭包的维数，且给出了两个组合公式（定理7.4与定理8.1）。
• 对称群中正则对合元素的Bruhat偏序集是部分对合偏序集中的一个反向区间，其分次性与秩函数（如Incitti [4] 所述）可作为推论得出。
• 该框架可推广至非对称矩阵：双陪集 $\{B_1^t \pi B_2\}$ 闭包的维数为 $n^2 - \mathfrak{E}(\pi)$，其中 $\mathfrak{E}(\pi)$ 为秩控制矩阵中所有对角线上的相等个数。
• 对于反对称矩阵，轨道闭包的维数为 $\frac{n^2 - n}{2} - \mathfrak{A}(\pi)$，其中 $\mathfrak{A}(\pi)$ 为严格上三角部分中相等个数，表明对称、反对称与一般情形下存在统一的模式。