[论文解读] Conic S-Procedure And Constrained Dissipativity

Аlexander L. Fradkov|ArXiv.org|Sep 30, 2005

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的锥形S-过程框架，利用正定矩阵空间中的对偶性及矩阵拉格朗日乘子，建立了有限频率频域不等式（FDIs）、时域耗散不等式与约束线性矩阵不等式（LMIs）之间的等价性。关键贡献在于一种无损的S-过程扩展，可在矩阵不等式约束下实现系统鲁棒分析与设计，将KYP引理由经典情形推广至非经典、有限频率设置，具有控制系统鲁棒性的实际意义。

ABSTRACT

A new version of classical S-procedure in system theory is proposed based on duality in the space of positive definite matrices and introduction of matrix Lagrange multipliers. A new proof and extension of the recent results of T.Iwasaki, S. Hara, A. Fradkov ( Systems & Control Letters, 2005. Vol 54 (7), pp 681-691) concerning equivalence between frequency domain inequality on finite frequency range and constrained dissipativity property for linear systems is given. The results of this paper extend S-procedure to allow for analysis and design of systems with matrix inequalities constraints.

研究动机与目标

• 将经典S-过程扩展至处理锥形约束与矩阵不等式，特别是针对有限频率控制问题。
• 基于正定矩阵空间中的对偶性与矩阵拉格朗日乘子，建立S-过程的无损版本。
• 证明有限频率频域不等式（FDIs）、时域耗散不等式（TDIs）与约束线性矩阵不等式（LMIs）之间的等价性。
• 在矩阵不等式约束下，实现对控制系统鲁棒分析与设计的支持，尤其适用于具有受限或约束耗散性的系统。

提出的方法

• 基于正定矩阵空间中的对偶性，提出一种新的锥形S-过程公式，引入矩阵拉格朗日乘子以处理约束。
• 将锥形S-过程应用于证明有限频率FDI、TDI与LMI条件之间的等价性，基于广义KYP-引理框架。
• 利用优化中的对偶定理，在约束锥的凸性与正则性条件下，建立S-过程的无损性。
• 通过矩阵乘子变换时域耗散性条件，推导出与有限频率FDI等价的矩阵不等式（LMI）。
• 将该方法应用于具有状态与输入约束的连续时间线性系统，采用L2空间中的二次型积分形式。
• 通过定理4与推论1验证该方法，表明在频率区间上的FDI与具有“慢度”条件的状态导数约束耗散性之间存在等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典S-过程能否以无损方式扩展至处理矩阵不等式约束与有限频率域不等式？
• RQ2 是否存在一种基于对偶性的框架，可建立有限频率FDI、时域耗散性与约束LMIs之间的等价性？
• RQ3 如何从输入与状态动态角度表征约束耗散性，特别是对状态导数能量的约束？
• RQ4 在由矩阵不等式定义的锥形约束下，S-过程的无损性需满足何种条件？
• RQ5 在不假设系统渐近稳定性的情况下，能否建立FDI与约束耗散性之间的等价性？

主要发现

• 若函数集像锥的闭包为凸且约束为正则，则锥形S-过程为无损，确保S-过程公式中(A)与(B)的等价性。
• 在一般频率区间Ω上的有限频率FDI，等价于一个时域耗散不等式(6)，其受一个涉及状态及其导数的矩阵约束(7)限制。
• 对于低频FDI（|ω| ≤ ϖ），约束简化为状态导数能量相对于状态能量的有界性，如∫|ẋ|²dt ≤ ϖ²∫|x|²dt。
• 该等价性无需系统渐近稳定性的假设，扩展了以往需依赖此类假设的研究结果。
• 该方法通过矩阵拉格朗日乘子将有限频率FDI问题转化为约束LMI问题，实现鲁棒控制设计。
• 该方法将KYP引理由经典情形推广至有限频率与约束耗散性设置，为鲁棒性分析提供统一框架。