[论文解读] CONJUGACY PROBLEM IN GROUPS OF NON-ORIENTABLE 3-MANIFOLDS

Jean-Philippe Préaux|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

该论文通过构造一个显式算法，将非可定向几何化3-流形基本群中的共轭问题约化为通过定向覆盖在可定向部分中的共轭问题，证明了该问题在非可定向几何化3-流形基本群中是可解的。关键贡献在于为所有几何化3-流形群（包括非可定向情形）提供了共轭问题的构造性解法，解决了3-流形拓扑学与群论中长期存在的问题，并在曲面-循环群和扭曲共轭问题中具有应用价值。

ABSTRACT

Abstract. We prove that fundamental groups of non-orientable 3-manifolds have a solvable conjugacy problem, and construct an algorithm. Together with our earlier work on the conjugacy prob-lem in groups on orientable geometrizable 3-manifolds, all pi1 of (geometrizable) 3-manifolds have a solvable conjugacy problem. As corollaries, both the twisted conjugacy problem in closed sur-face groups and the conjugacy problem in closed surface-by-cyclic groups, are solvable.

研究动机与目标

• 解决非可定向几何化3-流形基本群中的共轭问题。
• 将共轭问题的可解性从可定向情形扩展到非可定向3-流形群。
• 提供一个显式算法，当共轭元素存在时可明确计算出该元素。
• 作为推论，建立闭曲面群中扭曲共轭问题的可解性，以及曲面-循环群中共轭问题的可解性。
• 证明在具有可解指数2子群的群中，共轭问题的可解性并不一定继承，因此非可定向情形需要新的方法。

提出的方法

• 将非可定向3-流形群中的共轭问题约化为它们的定向双重覆盖中的共轭问题，而这些覆盖是可定向的几何化3-流形。
• 利用非可定向几何化3-流形的定向覆盖本身也是几何化的事实，从而可应用先前对可定向情形的研究结果。
• 通过双自动结构，应用在Seifert纤维化空间和有限体积双曲3-流形中词问题与共轭问题的算法。
• 对元素v²的中心化子进行分类，并基于其位于Seifert顶点群、边群或两者之外的情况进行分情况讨论。
• 使用图群分解和并置积结构分析顶点与边子群中的共轭关系。
• 通过显式群表示和标准型（例如在克莱因瓶群中），利用指数的奇偶性条件来判断边子群中的共轭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在指数2子群中可解，但共轭问题在群中仍可能不可解，那么非可定向几何化3-流形基本群中的共轭问题是否仍可解？
• RQ2 是否存在一个构造性算法，可判定非可定向3-流形群中元素的共轭性，并在存在时构造出共轭元素？
• RQ3 可定向几何化3-流形群中共轭问题的可解性是否可通过定向覆盖推广到非可定向情形？
• RQ4 能否利用3-流形几何与几何化定理来解决曲面-循环群中的共轭问题？
• RQ5 在非可定向3-流形群中，v²的中心化子在何种结构条件下可确定v的共轭类？

主要发现

• 非可定向几何化3-流形基本群中的共轭问题是可解的，且提供了显式算法。
• 该解法可构造出共轭元素h，使得当u与v共轭时，有u = h v h⁻¹。
• 所有几何化3-流形群中的共轭问题都是可解的，统一了可定向与非可定向情形。
• 作为主要结果的推论，闭曲面群中的扭曲共轭问题是可解的。
• 闭曲面-循环群中的共轭问题是可解的，其证明依赖于几何化定理与主算法。
• 对于同构于克莱因瓶群的边子群，通过表示式<a,b,t | [a,b]=1, t²=a, bt=b⁻¹>中指数对的奇偶性条件，可判定共轭性。