[论文解读] Connected Components of Hurwitz Schemes and Malle's Conjecture

Seyfi Türkelli|ArXiv.org|Sep 5, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文通过在Hurwitz概形中考虑非几何连通覆盖，对Malle猜想进行了修正，以计数有界判别式的数域扩张。基于Fq-有理点的启发式方法，作者证明了Fq(t)上N-扩张的渐近行为由满足a(G) = a(N)的正规子群G的b(G,N,Fq)最大值决定，解决了Klüners的反例，并与阿贝尔群及函数域的已知结果一致。

ABSTRACT

Let Z(X) be the number of degree-d extensions of F_q(t) with bounded discriminant and some specified Galois group. The problem of computing Z(X) can be related to a problem of counting F_q-rational points on certain Hurwitz spaces. Ellenberg and Venkatesh used this idea to develop a heuristic for the asymptotic behavior of Z'(X), the number of -geometrically connected- extensions, and showed that this agrees with the conjectures of Malle for function fields. We extend Ellenberg-Venkatesh's argument to handle the more complicated case of covers of P^1 which may not be geometrically connected, and show thatthe resulting heuristic suggests a natural modification to Malle's conjecture which avoids the counterexamples, due to Klüners, to the original conjecture.

研究动机与目标

• 为解决函数域设定下Klüners的Malle猜想反例。
• 将Ellenberg-Venkatesh对几何连通覆盖的启发式方法扩展至非几何连通覆盖。
• 提出一个修正的渐近公式，用于计数Fq(t)上具有最大常数子扩张的N-扩张。
• 通过扭曲伽罗瓦作用和分圆限制，将修正后的猜想推广至数域。
• 提供证据表明，修正后的猜想可避免已知反例，同时与Wright对阿贝尔群的结果一致。

提出的方法

• 利用启发式方法 |H(Fq)| ≈ q^d，其中H为几何连通概形且维数为d，将Hurwitz概形上Fq-有理点的计数与分量计数关联。
• 引入Nielsen元组作为参数化Hurwitz概形几乎几何连通分量的离散不变量。
• 对满足G ≤ N为正规子群且商群N/G为循环群的NG-覆盖进行分类。
• 通过伽罗瓦群在最小指标共轭类集合上的作用，计算Hurwitz概形的维数与不可约分量数。
• 定义b(G,N,Fq)为在扭曲伽罗瓦作用下，G(Fq)在G中最小指标共轭类集合上的轨道数。
• 通过取所有满足a(G) = a(N)的G ≤ N的b(G,N,Fq)最大值，提出修正猜想，从而得到ZN(Fq(t),X)的修正渐近公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何修正Malle猜想以避免Klüners的反例？
• RQ2 当覆盖非几何连通时，Fq(t)上具有有界判别式的N-扩张的正确渐近行为是什么？
• RQ3 Hurwitz概形如何参数化具有最大常数子扩张的NG-覆盖？
• RQ4 伽罗瓦群在共轭类上的作用在决定渐近对数因子中起什么作用？
• RQ5 函数域上的修正猜想能否以一致的对数指数定义方式推广至数域？

主要发现

• 当N = C3 ≀ C2 ≤ S6且q ≡ 2 mod 3时，Fq(t)上具有有界判别式的N-扩张数量为 ≍ X^{1/2} log X，与Klüners的反例一致，证实了修正猜想。
• 当N = (C3 ≀ C3) × C2 ≤ S18且q ≡ 2 mod 3时，渐近行为为 ≍ X^{1/4}，与修正猜想一致，解决了该反例。
• 修正后的猜想取所有满足N/G为循环群且a(G) = a(N)的正规子群G ≤ N的b(G,N,Fq)最大值，从而修正了原始Malle猜想。
• 数域上的修正猜想通过在共轭类上使用扭曲伽罗瓦作用定义b(G,N,k)，其中b(N,k)为所有满足a(G) = a(N)的此类G的b(G,N,k)最大值。
• 结果表明，当N为阿贝尔群时，无常数子扩张的扩张占主导地位，且当无此类G增加对数因子时，修正猜想退化为Malle原始形式。
• 该方法成功消除了已知反例，同时保持与阿贝尔群、S3、S4、S5在Q上的已知情况一致。