[论文解读] Connection formulas for Askey--Wilson polynomials and related expansions

Howard S. Cohl, Wolter Groenevelt|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2026

Mathematical functions and polynomials被引用 0

一句话总结

该论文推导并分析了 Askey–Wilson 多项式在其他族中的展开，推导了 q^{-1}-Al-Salam–Chihara 多项式的 Poisson 核，并将连接系数表示为带平衡的 4phi3 极限到各种 q-多项式的形式。

ABSTRACT

We derive and study expansions of and over the Askey--Wilson polynomials. We study these expansions and examine some limits to the continuous dual $q$-Hahn, Al-Salam--Chihara, continuous big $q$-Hermite and continuous $q$-Hermite polynomials and their $q^{-1}$-analogues. The Poisson kernel for the infinite discrete orthogonality relation for the $q^{-1}$-Al-Salam--Chihara polynomials is derived which in a special case reduces to the Gupta--Masson biorthogonal rational ${}_4ϕ_3$-functions. This Poisson kernel implies new infinite series connection relations for the Askey--Wilson polynomials involving these rational ${}_4ϕ_3$-functions. We also consider various interesting limits.

研究动机与目标

• 在 q-超几何框架内激发对 Askey–Wilson 多项式及其极限情形的研究兴趣。
• 推导并研究 Askey–Wilson 多项式相对于其他多项式族的展开。
• 开发 q^{-1}-Al-Salam–Chihara 多项式的 Poisson 核并考察其极限。
• 获得作为平衡的 4phi3 系列的显式连接系数。
• 探讨系数在 k 或 n 作为函数时的双正交性与表示论解释。

提出的方法

• 推导并研究 p_n(x;a,b,c,d|q) 关于 p_n(x;e,f,g,h|q) 的展开。
• 将连接系数 c_{k,n} 计算为平衡的 4phi3 系列。
• 构建并分析 q^{-1}-Al-Salam–Chihara 多项式的 Poisson 核及其极限。
• 利用二线性和 q^{-1}-Al-Salam–Chihara 多项式的正交性来获得恒等式。
• 将结果与 Gupta–Masson 的双正交有理 4phi3 函数及其双正交性联系起来。
• 讨论极限到连续双 q- Hahn、Al-Salam–Chihara、连续大 q- Hermite，以及连续 q- Hermite 多项式及其 q^{-1} 类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 Askey–Wilson 多项式在参数 (a,b,c,d) 与参数 (e,f,g,h) 下的显式连接公式是什么？
• RQ2 如何将连接系数表示为平衡的 4phi3 系列，在特殊情形下会有哪些简化？
• RQ3 q^{-1}-Al-Salam–Chihara 多项式的 Poisson 核形式为何，它与 Askey–Wilson 多项式有何关系？
• RQ4 在自然的 q 极限下，这些展开如何作用于相关族如连续双 q- Hahn、连续大 q- Hermite、连续 q- Hermite 多项式？
• RQ5 将系数视为 k 或 n 的函数时，会产生哪些双正交关系？

主要发现

• 获得了 Askey–Wilson 不同参数集合之间连接系数的明确平衡 4phi3 系列表达式。
• 推导出 q^{-1}-Al-Salam–Chihara 多项式无限离散正交性的 Poisson 核，并在一个特殊情况下显示为 Gupta–Masson 双正交有理 4phi3 函数。
• Poisson 核框架产生了关于 Askey–Wilson 多项式的新无穷级联连接关系，涉及有理的 4phi3 函数。
• 并探讨并讨论到连续双 q- Hahn、Al-Salam–Chihara、连续大 q- Hermite、连续 q- Hermite 多项式及其 q^{-1} 类比的极限。
• 由 q^{-1}-Al-Salam–Chihara 理论与表示论考量建立的结果系数的正交性与双正交性属性。