[论文解读] Connectivity and Convexity Properties of the Momentum Map for Group Actions on Hilbert Manifolds

K.R. Smith|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文利用Morse理论与Baire范畴定理，证明了在具有强辛结构的希尔伯特流形上，有限维群作用的动量映射的正则通用水平集的连通性。在此基础上，进一步证明了动量映射像的凸性，将Atiyah-Guillemin-Sternberg凸性定理推广至基于环路群等无限维情形。

ABSTRACT

In the early $1980$s a landmark result was obtained by Atiyah and independently Guillemin and Sternberg: the image of the momentum map for a torus action on a compact symplectic manifold is a convex polyhedron. Atiyah's proof makes use of the fact that level sets of the momentum map are connected. These proofs work in the setting of finite-dimensional compact symplectic manifolds. One can ask how these results generalize. A well-known example of an infinite-dimensional symplectic manifold with a finite-dimensional torus action is the based loop group. Atiyah and Pressley proved convexity for this example, but not connectedness of level sets. A proof of connectedness of level sets for the based loop group was provided by Harada, Holm, Jeffrey and Mare in $2006$. In this thesis we study Hilbert manifolds equipped with a strong symplectic structure and a finite-dimensional group action preserving the strong symplectic structure. We prove connectedness of regular generic level sets of the momentum map. We use this to prove convexity of the image of the momentum map.

研究动机与目标

• 将Atiyah-Guillemin-Sternberg凸性定理推广至配备有限维群作用的无限维辛流形。
• 在具有强辛结构的希尔伯特流形背景下，建立动量映射正则通用水平集的连通性。
• 通过利用水平集的连通性，提供一个证明动量映射像凸性的通用框架。
• 将Atiyah证明方法——基于水平集连通性——推广至无限维情形，如基于环路群。
• 弥补Atiyah与Pressley在原始证明中关于基于环路群凸性的不足，该证明缺乏对水平集连通性的证明。

提出的方法

• 利用动量映射分量的Morse理论，证明在H¹度量下，某些分量满足Palais-Smale条件（条件C）。
• 应用Baire范畴定理，证明动量映射水平集连通的正则值集合在李代数对偶中是剩余集。
• 运用希尔伯特流形上几乎周期Rⁿ作用的理论，分析动量映射纤维的结构。
• 从动量映射像构造至Rⁿ的良好投影，将问题约化为有限维凸性论证。
• 依赖函数空间中常微分方程的解的存在唯一性定理，分析动量映射分量的梯度流。
• 利用代数基于环路群Ω_alg上的直接极限拓扑，先在余密子空间中证明水平集连通性，再延拓至整个希尔伯特流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在配备有限维群作用的无限维辛流形中，能否建立动量映射水平集的连通性？
• RQ2 在确保有限维情形下凸性的相同条件下，希尔伯特流形上动量映射像的凸性是否依然成立？
• RQ3 Atiyah的方法——基于水平集连通性——能否推广至无限维情形，如基于环路群？
• RQ4 何种拓扑与分析条件可确保希尔伯特流形上动量映射正则水平集的连通性？
• RQ5 在无限维辛流形上，几乎周期Rⁿ作用下动量映射的结构如何变化？

主要发现

• 在ℝⁿ中，使得μ⁻¹(c)连通的正则值c的集合是剩余集，意味着连通性对一个泛性的、余密的Gδ集合成立。
• 基于环路群ΩG上T×S¹作用的动量映射像为凸集，通过基于水平集连通性的新证明重现了Atiyah与Pressley [7] 的结果。
• 在完整希尔伯特流形ΩG上，动量映射正则值的水平集连通性得以确立，扩展了以往仅限于余密子空间Ω_alg的结果。
• 动量映射分量在H¹度量下满足条件(C)，使得Morse理论技术可用于证明连通性。
• 该证明框架普遍适用于配备强辛结构及保持辛形式的有限维群作用的希尔伯特流形。
• 结果确认，在无限维情形下，动量映射像的凸性仍由与有限维情形相同的原理——水平集连通性——所决定。