[论文解读] Conservation laws and potential symmetries for certain evolution equations

Nataliya M. Ivanova, Roman O. Popovych+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文证明，某些演化方程中所谓的“隐藏潜在对称性”实际上只是通过Bluman方法可获得的标准潜在对称性。通过对方程类的守恒律进行分类并构建相应的潜在系统，作者利用潜在对称性和点等价变换系统地生成新的不变解和对称性，从而推导出完整的潜在对称性集合，包括无限维代数。

ABSTRACT

We show that the so-called hidden potential symmetries considered in a recent paper [Gandarias M., Physica A, 2008, V.387, 2234-2242] are ordinary potential symmetries that can be obtained using the method introduced by Bluman and collaborators. In fact, these are simplest potential symmetries associated with potential systems which are constructed with single conservation laws having no constant characteristics. Furthermore we classify the conservation laws for classes of porous medium equations and then using the corresponding conserved (potential) systems we search for potential symmetries. This is the approach one needs to adopt in order to determine the complete list of potential symmetries. The provenance of potential symmetries is explained for the porous medium equations by using potential equivalence transformations. Point and potential equivalence transformations are also applied to deriving new results on potential symmetries and corresponding invariant solutions from known ones. In particular, in this way the potential systems, potential conservation laws and potential symmetries of linearizable equations from the classes of differential equations under consideration are exhaustively described. Infinite series of infinite-dimensional algebras of potential symmetries are constructed for such equations.

研究动机与目标

• 澄清先前研究中报告的‘隐藏潜在对称性’的真实本质。
• 系统分类一类多孔介质方程的守恒律。
• 利用守恒律和潜在系统推导出完整的潜在对称性列表。
• 通过潜在等价变换建立识别潜在对称性的严格框架。
• 利用点等价变换和潜在等价变换从已知解系统地生成新的不变解和对称结构。

提出的方法

• 应用Bluman方法，从具有非恒定特征的守恒律中识别潜在对称性。
• 从缺乏恒定特征的单个守恒律构建潜在系统。
• 对多孔介质方程类进行守恒律分类，以实现系统的对称性分析。
• 利用潜在等价变换追踪潜在对称性的起源与结构。
• 利用点等价变换和潜在等价变换从已知解出发系统地生成新的潜在系统、守恒律和对称性。
• 为所研究类中可线性化的方程推导出潜在对称性的无限维代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 所谓演化方程中的‘隐藏潜在对称性’的真实起源是什么？
• RQ2 如何系统地对多孔介质方程类的守恒律进行分类？
• RQ3 这些方程的完整潜在对称性集合是什么，它们是如何构建的？
• RQ4 潜在等价变换如何解释潜在对称性的来源？
• RQ5 能否利用点等价变换和潜在等价变换从已知解出发生成新的不变解和对称结构？

主要发现

• 先前研究中识别出的‘隐藏潜在对称性’并非新颖，而是可通过Bluman已建立方法获得的标准潜在对称性。
• 潜在对称性源于使用具有非恒定特征的守恒律构建的潜在系统。
• 已实现对多孔介质方程类的守恒律的完整分类，从而支持全面的对称性分析。
• 为所研究类中可线性化的方程构建了潜在对称性的无限维代数。
• 点等价变换和潜在等价变换为从已知解出发系统生成新的潜在系统、守恒律和对称性提供了有效途径。
• 该框架可对给定类中可线性化方程的潜在系统、守恒律和对称性进行详尽描述。