[论文解读] Conservation laws for potential vorticity in a salty ocean or cloudy atmosphere

Parvathi Kooloth, Leslie Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2022

Climate variability and models参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文通过在海洋中引入盐度或在大气中引入水汽与云量，将经典的环流和位涡（PV）守恒定律推广至真实的地球流体系统。研究表明，位涡并非在每个流体微元上守恒，而是在具有恒定熵和盐度（或比湿）的薄饼状体积内积分守恒，该守恒性与拉格朗日框架中的粒子重标记对称性相关联。

ABSTRACT

One of the most important conservation laws in atmospheric and oceanic science is conservation of potential vorticity. The original derivation is approximately a century old, in the work of Rossby and Ertel, and it is related to the celebrated circulation theorems of Kelvin and Bjerknes. However, the laws apply to idealized fluids, and extensions to more realistic scenarios have been problematic. Here, these laws are extended to hold with additional fundamental complexities, including salinity in the ocean, or moisture and clouds in the atmosphere. In the absence of these additional complexities, it is known that potential vorticity is conserved following each fluid parcel; here, for a salty ocean or cloudy atmosphere, the general conserved quantity is potential vorticity integrated over certain pancake-shaped volumes. Furthermore, the conservation laws are also related to a symmetry in the Lagrangian, which brings a connection to the symmetry-conservation relationships seen in other areas of physics.

研究动机与目标

• 将经典的环流与位涡守恒定律推广至包含海洋盐度或大气水汽与云量的系统。
• 解决在具有多个热力学变量的真实地球流体中位涡不守恒这一长期存在的难题。
• 确立位涡守恒并非针对单个流体微元，而是针对特定空间体积内的积分量。
• 将守恒定律与拉格朗日表述中的粒子重标记对称性联系起来，从而与理论物理中的更广泛原理相联系。

提出的方法

• 推导了具有多个热力学变量（熵 s、比湿 qt 或盐度 S）的可压缩、无粘性流体中环流的演化方程。
• 引入一个涉及熵与水汽（或盐度）的广义热力学关系，从而推导出环流与位涡的守恒定律。
• 将广义位涡定义为 ρ⁻¹⃗ω·∇F(s, qt) 或 ρ⁻¹⃗ω·∇F(s, S)，其中 F 是热力学变量的任意函数。
• 应用斯托克斯定理与随体导数形式，证明环流沿随流体运动且位于恒定 s 与 qt（或 s 与 S）等熵面的曲线上守恒。
• 证明当在由恒定 s 与 qt（或 s 与 S）等熵面所围成的薄饼状体积上积分时，位涡守恒。
• 通过识别拉格朗日量中一种仅在同时保持熵与 qt（或 s 与 S）恒定时才保持作用量不变的粒子重标记对称性，建立与诺特定理的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的环流与位涡守恒定律推广至包含大气水汽与云量或海洋盐度的系统？
• RQ2 为何传统基于流体微元的位涡守恒在潮湿或盐度较高的地球流体中失效，其替代形式是什么？
• RQ3 在这些系统中，环流与位涡保持守恒所需的几何与热力学约束条件是什么？
• RQ4 该守恒定律如何与流体拉格朗日量中的基本对称性相关联？
• RQ5 潜热释放与相变在该守恒框架中起什么作用？

主要发现

• 在有云大气或含盐海洋中，位涡并非在单个流体微元上守恒，而是在具有恒定熵与比湿（或盐度）的薄饼状体积上积分后守恒。
• 环流定理被推广至适用于随流体运动且位于恒定熵与比湿（或盐度）面上的闭合曲线，确保沿此类曲线的环流守恒。
• 广义位涡定义为 ρ⁻¹⃗ω·∇F(s, qt)，其中 F 为熵与比湿的任意函数，且该量在指定体积上的积分守恒。
• 在拉格朗日量中识别出一种粒子重标记对称性，该对称性仅在同时保持熵与比湿（或盐度）恒定时才保持作用量不变，从而解释了积分位涡的守恒性。
• 当引入旋转项时，守恒定律依然成立，此时位涡表达式中的相对涡度被绝对涡度取代。
• 该框架为诊断大气与海洋模型中的非保守过程（如潜热释放）提供了基础，通过识别潮湿或盐度系统中正确的守恒量。