[论文解读] Constant-sized robust self-tests for states and measurements of unbounded dimension

Laura Mančinska, Jitendra Prakash+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2021

Quantum Information and Cryptography被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数框架，利用固定大小的相关性对任意维度的量子态和测量实现鲁棒的自检验。通过将 Gowers–Hatami 定理推广至 C*-代数，作者证明了基于投影算符之和为单位算符的标量倍数的特定量子策略，能够鲁棒地自检验任意奇数维的最大纠缠态以及高秩投影测量，这是首个针对无界测量秩和奇数维最大纠缠态的固定大小自检验。

ABSTRACT

We consider correlations, $p_{n,x}$, arising from measuring a maximally entangled state using $n$ measurements with two outcomes each, constructed from $n$ projections that add up to $xI$. We show that the correlations $p_{n,x}$ robustly self-test the underlying states and measurements. To achieve this, we lift the group-theoretic Gowers-Hatami based approach for proving robust self-tests to a more natural algebraic framework. A key step is to obtain an analogue of the Gowers-Hatami theorem allowing to perturb an "approximate" representation of the relevant algebra to an exact one. For $n=4$, the correlations $p_{n,x}$ self-test the maximally entangled state of every odd dimension as well as 2-outcome projective measurements of arbitrarily high rank. The only other family of constant-sized self-tests for strategies of unbounded dimension is due to Fu (QIP 2020) who presents such self-tests for an infinite family of maximally entangled states with even local dimension. Therefore, we are the first to exhibit a constant-sized self-test for measurements of unbounded dimension as well as all maximally entangled states with odd local dimension.

研究动机与目标

• 开发一种通用的鲁棒自检验框架，绕过群论约束，转而使用 C*-代数结构。
• 解决现有自检验方法依赖于临时技巧或群表示的局限性，这些方法并非总是适用。
• 建立对投影算符之和为单位算符标量倍数的量子策略的鲁棒自检验，实现对无界维量子系统的认证。
• 证明此类相关性可自检验任意奇数维的最大纠缠态以及无界秩的双 outcome 投影测量。
• 提供一种构造性方法，生成此类自检验相关性，并通过算子代数中的摄动理论证明其鲁棒性。

提出的方法

• 将群论框架下的 Gowers–Hatami 方法提升至 C*-代数框架，以非交换代数的表示替代群表示。
• 从 $ d \times d $ Hilbert 空间上 $ n $ 个投影算符之和为 $ xI_d $ 的量子相关性 $ p_{n,x} $ 出发，其中 $ x $ 的选择使得投影算符在局部酉变换下唯一确定。
• 证明 Gowers–Hatami 定理的代数类比，表明任何关于相关代数的 $ \epsilon $-近似表示均可通过摄动转化为精确表示。
• 利用投影算符生成的代数结构，推导测量算符和态向量的典范形式。
• 构造 $ n=4 $ 的显式例子，表明投影算符 $ \widetilde{P}_{1}, \dots, \widetilde{P}_{4} $ 之和为 $ \frac{8}{5}I_5 $ 时，可产生自检验相关性。
• 应用一系列酉变换与零空间分解，推导出最终的投影矩阵 $ \widetilde{P}_{2,v} $，确保其之和为 $ \frac{8}{5}I_5 $ 且满足所需的代数关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用与系统维度无关的固定大小相关性，实现对无界维量子态与测量的鲁棒自检验？
• RQ2 是否可以将 Gowers–Hatami 定理由群表示推广至由量子相关性导出的 C*-代数表示？
• RQ3 由投影算符之和为单位算符标量倍数导出的相关性，能否鲁棒地自检验奇数维最大纠缠态与高秩投影测量？
• RQ4 能否在不依赖群对称性的前提下实现此类自检验，从而适用于非群基的量子博弈？
• RQ5 哪些显式构造的投影算符之和为标量可产生无界维系统的自检验相关性？

主要发现

• 本文首次实现了对无界秩测量的固定大小鲁棒自检验，通过一个四投影算符构造，其和为 $ \frac{8}{5}I_5 $。
• 证明了当 $ x = \frac{8}{5} $ 时，量子相关性 $ p_{4,x} $ 可鲁棒地自检验所有奇数局部维数的最大纠缠态。
• 作者显式构造了 $ 5 \times 5 $ 投影矩阵 $ \widetilde{P}_{2,1}, \dots, \widetilde{P}_{2,4} $，其和为 $ \frac{8}{5}I_5 $，构成自检验相关性的基础。
• 该方法提供了一个通用的代数框架，将 Gowers–Hatami 定理提升至 C*-代数，使鲁棒自检验超越群基方法的限制。
• 该框架实现了对任意高阶双 outcome 投影测量的自检验，这是此前固定大小自检验中未曾实现的功能。
• 结果将设备无关认证的适用范围扩展至更广泛的量子系统类别，包括无底层群对称性的系统。