[论文解读] Constructing Kähler-Ricci solitons from Sasaki-Einstein manifolds

Akito Futaki, Mu‐Tao Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 8

一句话总结

该论文通过在Sasaki-Einstein流形上使用Calabi的试探法，构造了在Ricci平坦Kähler锥及toric Fano流形上的线丛上梯度Kähler-Ricci孤立子。该工作推广了Cao以及Feldman-Ilmanen-Knopf的先前构造，表明收缩与膨胀孤立子可被粘合为全时解，且在Sasaki结构为正则时，可光滑延拓至零截面。

ABSTRACT

We construct gradient Kähler-Ricci solitons on Ricci-flat Kähler cone manifolds and on line bundles over toric Fano manifolds. Certain shrinking and expanding solitons are pasted together to form eternal solutions of the Ricci flow. The method we employ is the Calabi ansatz over Sasaki-Einstein manifolds, and the results generalize constructions of Cao and Feldman-Ilmanen-Knopf.

研究动机与目标

• 将已知的Kähler-Ricci孤立子构造方法推广至非旋转对称情形，使用Sasaki-Einstein流形作为基结构。
• 在配备Sasaki-Einstein结构的toric Fano流形上的线丛上，建立收缩与膨胀梯度Kähler-Ricci孤立子的存在性。
• 证明某些收缩与膨胀孤立子对可被光滑粘合，形成全时解，该解定义于全空间减去零截面。
• 研究收缩孤立子在何种条件下可光滑延拓至零截面，特别是当Sasaki结构为正则时。
• 通过在非对称、可能不规则的Sasaki-Einstein流形上构造孤立子，推广Cao与Feldman-Ilmanen-Knopf的先前结果。

提出的方法

• 使用Calabi的试探法，在Fano流形及其相关Kähler锥上构造圆丛上的Kähler度量。
• 通过试探法将Kähler-Ricci孤立子方程约化为关于径向变量σ的常微分方程，从而导出函数φ(σ)的二阶常微分方程。
• 在锥C(S)上导出梯度标量孤立子方程：(σ^m φ)'' - μ(σ^m φ)' = mκσ^{m-1} - cσ^m，该方程控制孤立子条件。
• 利用试探法推导出度量完备性的条件，特别在σ=1附近，通过要求φ(1)=φ'(1)=0实现。
• 将该方法应用于横截Ricci曲率为Ric^T = κg^T且κ<0的Sasaki-Einstein流形，以在Kähler锥上构造膨胀孤立子。
• 将L^{-k} - Z上的收缩孤立子解与C(S)上的膨胀孤立子解粘合，形成在(L^{-k} - Z) × (-∞, ∞)上的全时解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可利用Sasaki-Einstein结构在toric Fano流形上的线丛上构造梯度Kähler-Ricci孤立子？
• RQ2 当L^{-k} - Z上的收缩孤立子在何种条件下可光滑延拓至零截面Z，Sasaki-Einstein结构的正则性起何作用？
• RQ3 能否通过在相同全空间上粘合收缩与膨胀孤立子，构造Kähler-Ricci流的全时解？
• RQ4 在具有横截Kähler-Einstein度量的Sasaki流形锥上，存在完整梯度标量孤立子的充要条件是什么？
• RQ5 在Calabi试探法框架下，μ < 0与c < 0的选择如何影响孤立子解的存在性与完备性？

主要发现

• 对任意Sasaki-Einstein流形S，若其横截Ricci曲率满足Ric^T = κg^T且κ < 0，则其关联的Kähler锥上存在一个完备的膨胀孤立子。
• 在toric Fano流形L^{-k}的线丛上，当其关联的U(1)-丛具有Sasaki-Einstein度量时，收缩与膨胀梯度Kähler-Ricci孤立子均存在。
• 当Sasaki-Einstein结构为正则时，L^{-k} - Z上的收缩孤立子可光滑延拓至零截面Z，从而在全全空间上诱导出光滑的全时解。
• 通过粘合收缩与膨胀孤立子形成的全时解位于(L^{-k} - Z) × (-∞, ∞)，除非Sasaki结构为正则，否则在零截面处存在奇点。
• 该构造推广了Cao与Feldman-Ilmanen-Knopf的先前结果，消除了旋转对称性的假设，允许在非对称、可能不规则的Sasaki-Einstein流形上构造孤立子。
• 梯度标量孤立子方程的解显式给出为φ(σ) = -(κ + c/μ)∑_{j=0}^m m! / ((m-j)! μ^{j+1}) σ^{-j} + (c/(μ(m+1)))σ - (c₁/μ)σ^{-m} + c₂e^{μσ}σ^{-m}，其中常数c₁与c₂由初始条件φ(1)=φ'(1)=0确定。