[论文解读] Constructing symmetric monoidal bicategories functorially
本文提供了一种函子化方法，将单模双范畴中的单模、braided 和对称结构提升到其底层的 bicategory，从而系统地构建单模 bicategory、函子和变换。
We present a method of constructing monoidal, braided monoidal, and symmetric monoidal bicategories from corresponding types of monoidal double categories that satisfy a lifting condition. Many important monoidal bicategories arise naturally in this way, and applying our general method is much easier than explicitly verifying the coherence laws of a monoidal bicategory for each example. Abstracting from earlier work in this direction, we express the construction as a functor between locally cubical bicategories that preserves monoid objects; this ensures that it also preserves monoidal functors, transformations, adjunctions, and so on. Examples include the monoidal bicategories of algebras and bimodules, categories and profunctors, sets and spans, open Markov processes, parametrized spectra, and various functors relating them.
研究动机与目标
- 在各种语境中激发对对称单模 bicategory 的重要性的认识，并便于一致性验证。
- 引入一种通用的提升方法，将单模结构从双范畴转移到其底层的 bicategory。
- 提供一个函子框架，保留单模对象与态射，包括函子和变换。
- 通过多样化的示例（包括具双模的代数与模、具丛态的范畴、以及跨度）来展示可应用性。
- 解释伴随物/共伴物如何促成提升并在所得的双范畴中确保一致性。
提出的方法
- 定义并研究对称单模双范畴及其松/松散/强单模函子。
- 引入伴随物与共伴物，以在底层双范畴中将紧箭头提升为松箭头。
- 证明在适当条件下，底层双范畴 L(D) 变为一个单模/带 braiding/对称的双范畴。
- 开发从单模双范畴到单模 bicategories 的函子 L，该函子保持单模结构和态射。
- 建立 L 扩展为在局部立方体双范畴之间的函子，保持单模对象和细胞。
- 用多个示例说明在实践中的构造。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在双范畴上将单模、braided、对称结构以函子方式传递到底层的 bicategories？
- RQ2哪些提升条件和一致性数据确保 L(D) 继承单模（或带 braiding/对称的）双范畴结构？
- RQ3提升能否扩展为对单模函子、变换和对偶关系，在保持组合性的同时？
- RQ4在具体设置中（如代数与模态、丛态、跨域、开放马尔可夫过程、参数化谱）该方法能否产生新的单模 bicategories？
- RQ5伴随物与共伴物如何促进函子提升并维持一致性？
主要发现
- 一般定理：若 D 是一个带松强伴随物的单模双范畴，则 L(D) 是一个单模双范畴（若 D 具有 braiding/对称，则也如此）。
- 构造 L 被扩展为在单模双范畴的局部立方体双范畴与双范畴之间的函子，保持单模对象和态射。
- 该框架不仅产生单模双范畴，还能以的一致、函子化的方式得到单模函子、变换及复合。
- 该方法适用于多种示例，包括代数与模态、范畴与丛态，以及跨度，以及开放马尔可夫过程和参数化谱。
- 一致性与提升通过伴随物/共伴物处理，它们提供紧箭头到松箭头的唯一（同构意义下）提升，使单模结构得以传递到 L(D)。
- 该方法可容纳松/Colax/强单模函子和变换，输出在提升结构中的严格程度相应地得到保障。
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