[论文解读] Construction of combinatorial manifolds with the prescribed sets of links of vertices

Alexander A. Gaifullin|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过解析单纯形循环的奇点，构造出具有指定顶点邻域同构类集合的定向组合流形。证明了任意平衡的定向组合球面集合（关于取反封闭）在添加配对 $(Z, -Z)$ 后，可实现为组合流形的邻域集合，从而通过局部组合公式显式实现有理庞特里亚金类，并解决了邻域变换 $ olde$ 的逆问题。

ABSTRACT

To each oriented closed combinatorial manifold we assign the set (with repetitions) of isomorphism classes of links of its vertices. The obtained transformation L is the main object of study of the present paper. We pose a problem on the inversion of the transformation L. We shall show that this problem is closely related to N.Steenrod's problem on realization of cycles and to the Rokhlin-Schwartz-Thom construction of combinatorial Pontryagin classes. It is easy to obtain a condition of balancing that is a necessary condition for a set of isomorphism classes of combinatorial spheres to belong to the image of the transformation L. In the present paper we give an explicit construction providing that each balanced set of isomorphism classes of combinatorial spheres gets into the image of L after passing to a multiple set and adding several pairs of the form (Z,-Z), where -Z is the sphere Z with the orientation reversed. This construction enables us, for a given singular simplicial cycle of a space R, to construct explicitly a combinatorial manifold M and a mapping $ϕ:M o R$ such that $ϕ_*[M]=r[ξ]$ for some positive integer r. The construction is based on resolving singularities of the cycle $ξ$. We give applications of our main construction to cobordisms of manifolds with singularities and cobordisms of simple cells. In particular, we prove that every rational additive invariant of cobordisms of manifolds with singularities admits a local formula. Another application is the construction of explicit (though inefficient) local combinatorial formulae for polynomials in the rational Pontryagin classes of combinatorial manifolds.

研究动机与目标

• 解决变换 $\mathcal{L}$ 的逆问题，该变换将每个定向组合流形映射为其顶点邻域同构类的多重集。
• 建立给定多重集的定向组合球面作为某个组合流形的邻域集合的条件。
• 提供一种显式构造方法，使得在添加对称取反对 $(Z, -Z)$ 后，任意平衡的组合球面多重集均可实现为组合流形的邻域集合。
• 将该构造应用于带奇点的流形的cobordism，并推导有理庞特里亚金类的局部组合公式。

提出的方法

• 将群 $\mathcal{T}_n$ 定义为在同构类的定向 $(n-1)$-球面生成的自由阿贝尔群模去关系 $Y + (-Y) = 0$，形成一个微分 $d$ 的链复形。
• 使用变换 $\mathcal{L}_{\mathcal{T}}$ 将流形映射到其顶点邻域在 $\mathcal{T}_n$ 中的和，从而简化逆问题。
• 通过替换奇异单纯形为组合球面并沿匹配邻域粘合的程序，解析奇异单纯形循环 $\xi$ 的奇点，构造出实现给定邻域多重集的流形。
• 在组合球面 $Y$ 上定义上链 $h(Y)$，作为由链上函数 $f$ 导出的线性方程组的解，使值的平方和最小化。
• 在上链上引入一种非结合、非交换的乘法 $\diamond$，以组合多项式在庞特里亚金类上的局部公式。
• 证明链复形 $\mathcal{T}^*$ 的上同调中的同态 $\alpha^*$ 是同构，从而确保 $g(Y)$ 的方程组存在标准解。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定一个定向组合球面的多重集，其在何时可作为某个定向组合流形的顶点邻域集合？
• RQ2 每个平衡的组合球面多重集（关于 $Z \mapsto -Z$ 封闭）在添加对 $(Z, -Z)$ 后，是否总能实现为某个组合流形的邻域集合？
• RQ3 给定组合流形的庞特里亚金类的有理多项式，是否总能通过局部组合公式实现？
• RQ4 如何显式构造一个组合流形 $M$ 和一个映射 $\varphi: M \to R$，使得 $\varphi_*[M] = r[\xi]$，其中 $\xi$ 为给定的奇异循环？

主要发现

• 每个平衡的定向组合球面同构类多重集，在取其倍集并添加对 $(Z, -Z)$ 后，均可实现为某个定向组合流形的邻域集合。
• 该构造提供了一种显式算法，通过局部公式实现带奇点的流形cobordism 的任意有理加法不变量。
• 上链上的乘法 $\diamond$ 在上同调 $\mathcal{T}^*(\mathbb{Q})$ 中诱导出一个良定义的乘法，其结构与有理庞特里亚金类的环结构一致。
• 同态 $\alpha^*$ 是同构，确保 $\mathcal{T}^n(\mathbb{Q})$ 中的每个上循环都可提升为 $\mathcal{W}^n(\mathbb{Q})$ 中的上循环，从而保证 $g(Y)$ 方程组的可解性。
• 计算 $f_1 \diamond f_2$ 在球面 $Y$ 上的值的程序，可简化为仅使用余维数 1 和余维数 $k$ 单纯形的邻域数据求解线性方程组。
• 该构造给出了显式但效率不高的组合流形有理庞特里亚金类多项式的局部组合公式。