[论文解读] Construction of eigenfunctions for scalar-type operators via Laplace averages with connections to the Koopman operator

Ryan Mohr, Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Model Reduction and Neural Networks参考文献 21被引用 43

一句话总结

本文将拉普拉斯平均推广为傅里叶平均的推广形式，用于在耗散动力系统中计算非酉、标量型谱算子的特征函数。研究证明，吸引不动点和极限环的库普曼算子在赋范环上多项式空间的完备化空间上是谱算子，从而将谱理论扩展至非酉系统，并通过泛函分析方法实现全局库普曼模态分析。

ABSTRACT

This paper extends Yosida's mean ergodic theorem in order to compute projections onto non-unitary eigenspaces for spectral operators of scalar-type on locally convex linear topological spaces. For spectral operators with dominating point spectrum, the projections take the form of Laplace averages, which are a generalization of the Fourier averages used when the spectrum is unitary. Inverse iteration and Laplace averages project onto eigenspaces of spectral operators with minimal point spectrum. Two classes of dynamical systems --- attracting fixed points in $\mathbb{C}^{d}$ and attracting limit cycles in $\mathbb{R}^{2}$ --- and their respective spaces of observables are given for which the associated composition operator is spectral. It is shown that the natural spaces of observables are completions with an $\ell^{2}$ polynomial norm of a space of polynomials over a normed unital commutative ring. These spaces are generalizations of the Hardy spaces $H^{2}(\mathbb{D})$ and $H^{2}(\mathbb{D}^{d})$. Elements of the ring are observables defined on the attractor --- the fixed point or the limit cycle, in our examples. Furthermore, we are able to provide a (semi)global spectral theorem for the composition operators associated with a large class of dissipative nonlinear dynamical systems; any sufficiently smooth dynamical system topologically conjugate to either of the two cases above admits an observable space on which the associated Koopman operator is spectral. It is conjectured that this is generically true for systems where the basin of attraction can be properly "coordinatized".

研究动机与目标

• 将亚希达的平均遍历定理推广至局部凸空间中的非酉、标量型算子。
• 为非线性耗散动力系统中库普曼算子的特征函数构造建立泛函分析框架。
• 识别库普曼算子在吸引不动点和极限环上成为谱算子的自然可观测空间——赋范含幺交换环上多项式环的完备化空间。
• 为与可线性化吸引动力系统拓扑共轭的系统建立（半）全局谱定理。
• 为基于拉普拉斯平均与多项式逼近的非线性系统数据驱动谱分析提供理论基础。

提出的方法

• 利用拉普拉斯平均作为傅里叶平均在非酉特征空间上的推广，实现对谱算子非酉谱空间的投影。
• 将可观测空间构造为赋范含幺交换环上多项式环的完备化空间，其系数取自吸引子上可观测函数的巴拿赫空间。
• 将标量型算子的谱定理应用于与吸引不动点和极限环相关的库普曼算子。
• 利用拓扑共轭将线性化系统的谱结构传递至非线性系统，保持库普曼算子的谱性质。
• 引入广义哈代空间框架，其中系数取值于吸引子上可观测函数的巴拿赫空间，而非 ℂ。
• 提出基于离散拉普拉斯变换、Krylov方法及指示函数多项式逼近的数据驱动数值路径，以实现谱投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉普拉斯平均能否用于构造耗散系统中非酉谱算子的特征函数？
• RQ2 库普曼算子在吸引不动点和极限环上成为谱算子的自然可观测空间是什么？
• RQ3 如何通过泛函分析方法将库普曼算子的谱分解推广至非酉动力系统？
• RQ4 在何种程度上可通过与线性化系统的共轭关系及可观测函数的多项式完备化，恢复非线性系统的谱结构？
• RQ5 在何种条件下，非线性系统上的库普曼算子是谱算子？该性质可如何推广至更广泛的耗散系统类别？

主要发现

• 拉普拉斯平均为非酉谱谱算子的特征空间投影提供了有效方法，推广了酉系统中傅里叶平均的方法。
• 在 ℂ^d 中的吸引不动点，其库普曼算子在赋范含幺交换环上多项式空间的完备化空间上是谱算子。
• 在 ℝ² 中的极限环，其关联的库普曼算子在具有巴拿赫空间系数的类似多项式可观测空间上是谱算子。
• 可观测空间被识别为广义哈代空间，其中系数取值于可分、自反的巴拿赫空间，而非 ℂ。
• 对于与两个模型情形（吸引不动点和极限环）拓扑共轭的系统，若吸引 basin 允许适当的坐标化，则可建立（半）全局谱定理。
• 本文猜想：对于任意有界吸引子且其 basin 可坐标化的系统，其自然可观测空间为吸引子可观测函数赋范环上多项式的完备化空间。