[论文解读] Construction of $G^2$ planar Hermite interpolants with prescribed arc lengths

Marjeta Knez, Francesca Pelosi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2022

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 7

一句话总结

该论文提出一种局部、闭式方法，利用指定弧长的7次毕达哥拉斯-切线（PH）双圆弧曲线构造$G^2$平面Hermite插值。通过将两个形状参数设为零，并将其余两个参数与切线长度关联，该方法可确保对任意给定数据和曲率均存在解，通过一个最多含四个实解的代数方程精确满足弧长约束，最优解通过最小化弯曲能量确定。

ABSTRACT

In this paper we address the problem of constructing $G^2$ planar Pythagorean--hodograph (PH) spline curves, that interpolate points, tangent directions and curvatures, and have prescribed arc-length. The interpolation scheme is completely local. Each spline segment is defined as a PH biarc curve of degree $7$, which results in having a closed form solution of the $G^2$ interpolation equations depending on four free parameters. By fixing two of them to zero, it is proven that the length constraint can be satisfied for any data and any chosen ratio between the two boundary tangents. Length interpolation equation reduces to one algebraic equation with four solutions in general. To select the best one, the value of the bending energy is observed. Several numerical examples are provided to illustrate the obtained theoretical results and to numerically confirm that the approximation order is $5$.

研究动机与目标

• 为解决构造具有精确弧长约束的$G^2$平面Hermite插值问题，该问题由于非线性通常需要迭代方法。
• 通过引入基于双圆弧的局部构造与简化参数化，克服标准$G^2$ PH曲线插值中缺乏解的存在性保证的问题。
• 在保持$G^2$连续性的同时确保精确弧长满足，并提供闭式解，简化在几何设计与制造中的实现。
• 在保持PH曲线关键特性（如有理偏移和简单弧长参数化）的同时，实现高阶逼近（阶数5）。

提出的方法

• 使用7次毕达哥拉斯-切线（PH）双圆弧曲线作为样条段，实现$G^2$插值方程的闭式求解，具有四个自由参数。
• 在双圆弧连接处施加$C^3$连续性以减少自由度并简化系统。
• 将两个形状参数设为零，以在端点处强制一阶与二阶导数正交，并将剩余两个参数与切线长度成比例。
• 将弧长约束简化为单变量的代数方程，可对任意输入数据和边界切线比例求解。
• 通过最小化弯曲能量从最多四个实根中选择最优解，确保几何公平性。
• 将该方法局部应用于构造$G^2$连续样条，通过数值实验验证逼近阶数与曲率精度。

Figure 1 : Two PH interpolants of degree $7$ from Example 3.1 together with the control polygons and porcupine curvature plots (with proportional factor equal to 0.03).

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种局部、闭式$G^2$ Hermite插值方案，用于平面PH曲线并指定弧长，避免使用迭代求解器？
• RQ2 用$C^3$连续的PH双圆弧替代单个7次PH曲线，是否能确保对任意给定Hermite数据和弧长均存在解？
• RQ3 所提出的PH双圆弧插值器的逼近阶数是多少？与现有方法相比，在精度和几何特性方面表现如何？
• RQ4 该方法能否在满足曲率与长度约束的同时，保持PH曲线的关键特性（如有理偏移和精确弧长参数化）？

主要发现

• 弧长约束简化为一个最多含四个实解的代数方程，且对任意给定的Hermite数据和边界切线长度比均存在解。
• 通过将两个自由参数设为零并将其余两个参数与切线长度关联，该方法确保了有效插值器的存在性。
• 数值实验表明逼近阶数为5，表现为在圆弧逼近中，随着分段数增加，误差衰减率约为5.0。
• 弯曲能量最小化准则成功从多个候选解中选择出几何最公平的解，确保平滑性与视觉质量。
• 该方法在逼近圆弧方面具有高精度，使用单个双圆弧段对半圆逼近的误差为$6.38889 \cdot 10^{-4}$。
• 该方法可直接应用于局部$G^2$样条构造，在CNC加工和机器人路径规划等工业应用中实现高效且精确的弧长控制。

Figure 2 : Four PH interpolants ${\bf r}$ of degree $7$ for the data ( 21 ) with $\theta_{0}=-\frac{\pi}{4}$ , $\theta_{1}=\frac{\pi}{8}$ , $\kappa_{0}=\kappa_{1}=1$ , $L=1.1$ , and $|{{\bf r}^{\prime}(0)}|=|{{\bf r}^{\prime}(1)}|$ .