[论文解读] Construction of type ${ m II_1}$ factors with prescribed countable fundamental group

Cyril Houdayer|ArXiv.org|Apr 26, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文通过自由概率和 Popa 的形变/刚性理论中的两种新颖方法，构造了具有任意指定可数基本群的类型 $\mathrm{II_1}$ 因子。首先，利用 $w$-刚性群（例如 $\mathbf{Z}^2 \rtimes \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$）在自由 Araki-Woods 因子上的 $s$-可变形、自由混合作用，构造出交叉积因子，其基本群等于任意给定的 $\mathbf{R}^*_+$ 的可数子群。其次，通过与一个类型 I 因子的自由积构造此类因子，其中基本群由该状态的点谱决定。关键贡献在于在类型 $\mathrm{II_1}$ 因子中显式实现了任意可数基本群。

ABSTRACT

In the context of Free Probability Theory, we study two different constructions that provide new examples of factors of type ${ m II_1}$ with prescribed fundamental group. First we investigate state-preserving group actions on the almost periodic free Araki-Woods factors satisfying both a condition of mixing and a condition of free malleability in the sense of Popa. Typical examples are given by the free Bogoliubov shifts. Take an ICC $w$-rigid group $G$ such that $\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$ (e.g. $G = \Z^2 times \SL(2, \Z)$). For any countable subgroup $S \subset \R^*_+$, we show that there exists an action of $G$ on $L(\F_\infty)$ such that $L(\F_\infty) times G$ is a type ${ m II_1}$ factor and its fundamental group is $S$. The second construction is based on a free product. Take $(B(H), ψ)$ any factor of type ${ m I}$ endowed with a faithful normal state and denote by $Γ\subset \R^*_+$ the subgroup generated by the point spectrum of $ψ$. We show that the centralizer $(L(G) \ast B(H))^{τ\ast ψ}$ is a type ${ m II_1}$ factor and its fundamental group is $Γ$. Our proofs rely on Popa's deformation/rigidity strategy using his intertwining-by-bimodules technique.

研究动机与目标

• 构造基本群等于任意给定可数子群 $S \subset \mathbf{R}^*_+$ 的类型 $\mathrm{II_1}$ 因子。
• 通过在自由 Araki-Woods 因子上使用 $s$-可变形、自由混合作用，将 Popa 的形变/刚性策略扩展至自由概率框架。
• 提供两种不同的构造方法——一种通过交叉积，一种通过自由积——以得到具有指定基本群的因子。
• 证明在自由积构造中，类型 $\mathrm{II_1}$ 因子的基本群可等于类型 I 因子上某状态的点谱。

提出的方法

• 利用 $w$-刚性群在几乎周期性自由 Araki-Woods 因子上的 $s$-可变形、自由混合作用，结合 Popa 的双模夹逼技术。
• 通过将作用的可变形性与 $w$-刚性群的相对 $(T)$ 性质相结合，应用形变/刚性策略。
• 构造交叉积 $L(\mathbf{F}_\infty) \rtimes G$，其中 $G$ 是满足 $\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$ 的 $w$-刚性群，确保所得因子的基本群为 $S$。
• 通过涉及类型 I 因子 $(B(H), \psi)$ 和群因子 $L(G)$ 的自由积构造，使得中心化子 $(L(G) * B(H))^\tau * \psi$ 的基本群等于由 $\psi$ 的点谱生成的子群 $S \subset \mathbf{R}^*_+$。
• 运用冯诺依曼代数的模理论，包括模算子 $\Delta_\varphi$、模共轭算子 $J_\varphi$，以及与代数相关的算子的极分解。
• 通过谱性质和与模自同构群的交换性，证明由 GNS 构造定义的算子 $T_\xi$ 的闭性及其与 von Neumann 代数 $\mathcal{M}$ 的 $\mathcal{M}$-隶属关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出具有任意指定可数基本群的类型 $\mathrm{II_1}$ 因子？
• RQ2 如何利用自由 Araki-Woods 因子上的 $s$-可变形、自由混合作用来实现任意基本群？
• RQ3 某状态的点谱在决定自由积冯诺依曼代数的基本群中起什么作用？
• RQ4 能否将形变/刚性策略适配至自由概率框架，使用自由积而非张量积？
• RQ5 在何种条件下，自由积因子的中心化子会继承自状态点谱的基本群结构？

主要发现

• 对任意可数子群 $S \subset \mathbf{R}^*_+$，均存在基本群 $\mathcal{F}(M) = S$ 的类型 $\mathrm{II_1}$ 因子。
• 当 $G = \mathbf{Z}^2 \rtimes \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$ 以 $s$-可变形且自由混合的方式作用于 $L(\mathbf{F}_\infty)$ 时，交叉积 $L(\mathbf{F}_\infty) \rtimes G$ 生成的基本群为 $S$ 的因子。
• 自由积中 $w$-刚性群因子与类型 I 因子（带状态 $\psi$）的中心化子 $(L(G) * B(H))^{\tau * \psi}$ 是一个基本群等于由 $\psi$ 的点谱生成的子群 $S \subset \mathbf{R}^*_+$ 的类型 $\mathrm{II_1}$ 因子。
• 由 GNS 构造定义的算子 $T_\xi$ 是闭的且隶属于 von Neumann 代数 $\mathcal{M}$，其极分解部分 $v$ 属于 $\mathcal{M}^\gamma$，其中 $\gamma$ 属于 $\mathcal{M}$ 的谱。
• 模自同构群 $\sigma_t^\varphi$ 作用于 $T_\xi$ 的酉部分 $v$ 时满足 $\sigma_t^\varphi(v) = \gamma^{it}v$，从而确认 $v \in \mathcal{M}^\gamma$。
• 若 $B$ 与 $\xi$ 交换，则 $B$ 在 $\mathcal{M}^\varphi$ 中的交换子也与 $v$ 交换，从而保证 $v$ 属于 $B$ 的交换子。