[论文解读] Constructions of Rank Modulation Codes

Arya Mazumdar, Alexander Barg+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文通过利用汉明空间中的传统纠错码（如BCH码和Reed-Solomon码），并将其转换为使用Kendall tau距离的排列码，提出了用于闪存和脉冲噪声信道的新型秩调制码构造方法。关键贡献在于提出了一类在码率与纠错能力之间实现近似最优权衡的码，其编码与译码复杂度与汉明距离码相当。

ABSTRACT

Rank modulation is a way of encoding information to correct errors in flash memory devices as well as impulse noise in transmission lines. Modeling rank modulation involves construction of packings of the space of permutations equipped with the Kendall tau distance. We present several general constructions of codes in permutations that cover a broad range of code parameters. In particular, we show a number of ways in which conventional error-correcting codes can be modified to correct errors in the Kendall space. Codes that we construct afford simple encoding and decoding algorithms of essentially the same complexity as required to correct errors in the Hamming metric. For instance, from binary BCH codes we obtain codes correcting $t$ Kendall errors in $n$ memory cells that support the order of $n!/(\log_2n!)^t$ messages, for any constant $t= 1,2,...$ We also construct families of codes that correct a number of errors that grows with $n$ at varying rates, from $Θ(n)$ to $Θ(n^{2})$. One of our constructions gives rise to a family of rank modulation codes for which the trade-off between the number of messages and the number of correctable Kendall errors approaches the optimal scaling rate. Finally, we list a number of possibilities for constructing codes of finite length, and give examples of rank modulation codes with specific parameters.

研究动机与目标

• 设计适用于闪存和脉冲噪声信道中秩调制的实用纠错码。
• 弥合在Kendall tau距离度量下，已建立的汉明空间码与排列码之间的差距。
• 在保持低编码与译码复杂度的同时，实现高码率与强纠错能力的码。
• 探索渐近与有限长度码的构造方法，使其在码大小与抗错能力之间趋近最优比例。

提出的方法

• 通过将汉明距离特性映射到Kendall tau距离的变换，将二元及$q$-元线性码（如BCH码、Reed-Solomon码、Hermitian码）适配到秩调制框架中。
• 采用Kendall tau距离作为排列码的度量标准，定义为将一个排列转换为另一个排列所需的最少相邻对换次数。
• 应用广义Gray映射与码构造技术，将线性码嵌入对称群$S_n$中。
• 利用乘积码与删减码（如来自Hermitian曲线的码）生成具有可调参数的高码率秩调制码。
• 通过在变换过程中保持译码结构，确保译码复杂度与原始汉明空间码相当。
• 利用$S_n$的群结构以及以相邻对换为生成元的Cayley度量，形式化误差模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将汉明空间中现有的线性纠错码转换为基于Kendall tau距离的排列码？
• RQ2 在秩调制码中，码率与最小Kendall距离之间的可实现权衡是什么？其与理论最优值的接近程度如何？
• RQ3 基于代数码（如Reed-Solomon码、Hermitian码）的构造是否能产生优于基于二元BCH码的有限长度秩调制码？
• RQ4 原始汉明空间码的译码复杂度在所得秩调制码中能在多大程度上得以保留？
• RQ5 当错误数随$n$增长时，秩调制码的渐近标度行为如何？

主要发现

• 从长度为$n'=63, 255$的二元BCH码出发，本文构造了参数为$(64, 36, 13)$和$(256, 215, 13)$的秩调制码，支持最多$n!/( ext{log}_2 n!)^t$条消息，可纠正$t$个Kendall错误。
• 利用$\mathbb{F}_{16}$上的乘积Reed-Solomon码，构造出参数为$(n=255, \log M=108, d \geq 107)$的码，可纠正至少53个错误。
• 通过$\mathbb{F}_{256}$上的删减Hermitian码，得到长度为$n=4845$的秩调制码，参数如$(n, 7208, 6119)$，可纠正最多3059个错误。
• 该方法生成的码在码大小与纠错能力之间的权衡趋近最优比例，尤其在$n$较大时表现更优。
• 所得秩调制码的译码复杂度与原始汉明空间码基本相同，支持实际部署。
• 该构造方法具有高度灵活性，可应用于多种现有码（包括LDPC码与极化码），表明其在经典线性码之外也具有广泛适用性。