[论文解读] Constructions of round fold maps on $C^{\infty}$ bundles

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 8

一句话总结

该论文通过新颖的P-运算和局部平凡的轮换折痕映射构造方法，在球面及更一般的流形（包括异样球面和$S^1$-丛）上的$C^{\infty}$丛上构造了新的轮换折痕映射族。关键贡献在于对可 admitting 这类映射的源流形实现了显式的微分同胚分类，通过稳定折痕映射理论和丛论技术，将先前结果推广至新的拓扑类型。

ABSTRACT

In this paper, we construct round fold maps or stable fold maps with concentric singular value sets introduced by the author on smooth bundles over spheres or bundles over more general manifolds. The class of round fold maps includes special generic maps on spheres and such maps have been constructed on smooth bundles over standard spheres of dimensions larger than 1 and connected sums of smooth bundles over standard spheres of dimensions larger than 1 whose fibers are standard spheres, for example, in previous studies by the author. In this paper, we obtain round fold maps and the diffeomorphism types of their source manifolds which do not appear in these studies in new manners.

研究动机与目标

• 将可 admitting 轮换折痕映射的流形分类结果，从标准和连通和丛的构造推广至更广泛的构造范围。
• 为在（异样）球面上的$C^{\infty}$丛及一般基流形上构造轮换折痕映射，开发新方法。
• 通过P-运算，确立在具有局部平凡轮换折痕映射的流形上的$S^1$-丛所生成的源流形的微分同胚类型。
• 通过引入保持轮换折痕映射结构的P-运算，推广先前关于特殊通用和稳定折痕映射的结果。

提出的方法

• 引入局部$C^{\infty}$平凡轮换折痕映射的概念，将其推广为$C^{\infty}$平凡映射，以适用于丛构造。
• 将P-运算作为先前丛构造技术的推广，用于在具有局部平凡轮换折痕映射的流形上的$S^1$-丛上生成新的轮换折痕映射。
• 利用Reeb空间和同伦群同构关系，分析源流形的拓扑不变量，特别是$\pi_1$、$\pi_2$和$H^2$。
• 应用障碍论论证，证明在轮换折痕映射条件下，$S^1$-丛在$f^{-1}(\partial N(C))$上的第一Stiefel-Whitney类和欧拉类为零。
• 利用轮换折痕映射中正规核心和轴的结构，将Reeb空间$W_f$的拓扑与源流形的同伦群联系起来。
• 依赖于拓扑拟平凡映射的存在性，以及同构关系$\pi_k(M) \cong \pi_k(W_f)$（当$k \leq m-n-1$时），实现对源流形的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在（异样）球面上的$C^{\infty}$丛上构造轮换折痕映射，超越标准和连通和构造？
• RQ2 在具有局部平凡轮换折痕映射的流形上的$S^1$-丛上，可 admitting 轮换折痕映射的源流形的微分同胚类型为何？
• RQ3 P-运算如何推广先前的丛构造方法，以生成新的轮换折痕映射，同时保持结构和拓扑不变量？
• RQ4 在何种条件下，具有轮换折痕映射的流形上的$S^1$-丛可通过P-运算继承轮换折痕映射？
• RQ5 所生成的源流形的同伦与上同调不变量（特别是$H^2(M,\mathbb{Z})$和$\pi_1(M)$）为何？

主要发现

• 在（异样）球面上的$C^{\infty}$丛上构造了新的轮换折痕映射，包括$S^2 \times S^3$上的$S^1$-丛，其结果超越了先前的构造。
• 当$n=2$且$m-n \geq 3$时，轮换折痕映射的源流形$M$满足$\pi_1(M) \cong \{0\}$且$H^2(M,\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^l$，其中$l$为轴映射的Reeb空间中回路的数量。
• 任何$S^1$-丛在$M$上的欧拉类在$f^{-1}(\partial N(C))$上限制为零，确保了在奇异值分量的管状邻域边界上该丛的可定向性与平凡性。
• 对轮换折痕映射$f: M \to \mathbb{R}^2$进行P-运算，可在$M$上的$C^{\infty}$定向$S^1$-丛$M(\alpha)$上生成一个新的轮换折痕映射，其欧拉类为$\alpha$，其中$\alpha \in H^2(M,\mathbb{Z})$。
• 该构造在$S^3 \times S^3$上生成了一个映射到$\mathbb{R}^2$的轮换折痕映射，该映射与先前已知的映射不同，证明了该方法的新颖性。
• 该映射的Reeb空间$W_f$满足$\pi_k(M) \cong \pi_k(W_f)$（当$k \leq m-n-1$时），从而可通过Reeb空间实现对源流形的同伦分类。