[论文解读] Constructive Liouville Conformal Field Theory

A. Kupiainen|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文通过高斯乘法混沌（GMC）对黎曼曲面共形场论（LCFT）进行了严格的概率构造，通过解析延拓和BPZ微分方程，确立了相关函数的存在性，并推导出DOZZ三点多点函数公式。该方法通过概率方法验证了LCFT的可积性，证实了在Seiberg界下的DOZZ公式。

ABSTRACT

These lectures give an introduction to a probabilistic approach to Liouville Quantum Field Theory developed in a joint work with F. David, R. Rhodes and V. Vargas.

研究动机与目标

• 通过概率论提供黎曼曲面量子场论的构造性、非微扰公式化。
• 通过高斯乘法混沌理论确立黎曼曲面相关函数的存在性。
• 通过概率方法和BPZ方程从第一原理推导DOZZ三点多函数公式。
• 在概率框架下确认Virasoro代数的表示和局部共形不变性。
• 通过GMC测度的解析延拓和渐近分析，验证DOZZ猜想及LCFT谱。

提出的方法

• 通过高斯乘法混沌（GMC）测度构造黎曼曲面路径积分，将随机分布定义为 $ e^{rac{\tilde{\nu}}{2}X(x)} $，其中 $ X $ 为高斯自由场。
• 利用离散随机三角剖分收敛到 $ S^2 $ 上的极限共形结构，其标度极限由 $ \tilde{\nu} \to 0 $ 控制。
• 将黎曼曲面顶点算符 $ V_{\alpha}(z) $ 定义为 $ e^{\alpha X(z)} $，其中 $ \alpha $ 通过 $ c = 25 - 6Q^2 $ 与中心荷关联，且 $ Q = \frac{\gamma}{2} + \frac{2}{\gamma} $。
• 通过极限 $ G(z) = \lim_{z_3 \to \infty} |z_3|^{4\Delta_3} \langle V_{-\gamma/2}(z) \cdots \rangle $ 推导三点多函数，其表达为GMC期望。
• 将三点多函数表示为 $ \mathcal{T}(z) = \mathbb{E}[R(z)^{1/2 - s}] $，其中 $ R(z) $ 为带幂律权重的GMC积分。
• 通过将BPZ微分方程约化为 $ \mathcal{T}(z) $ 的超几何方程求解，并通过在 $ z \to 0 $ 处匹配渐近行为以确定系数，从而导出DOZZ公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼曲面CFT能否通过高斯乘法混沌等概率方法实现严格构造？
• RQ2 黎曼曲面理论的相关函数是否可从含物质场的随机三角剖分的标度极限中涌现？
• RQ3 DOZZ三点多函数公式是否可通过BPZ方程和渐近分析从概率构造中导出？
• RQ4 Virasoro代数与黎曼曲面场的概率结构之间的确切关系为何？
• RQ5 在何种条件下，结构常数的解析延拓可导出DOZZ公式？

主要发现

• 黎曼曲面三点多函数被推导为 $ G(z) = |z|^{\gamma \alpha_1 / 2} |z-1|^{\gamma \alpha_2 / 2} \mathcal{T}(z) $，其中 $ \mathcal{T}(z) $ 为包含幂律权重的GMC期望。
• 函数 $ \mathcal{T}(z) $ 满足超几何方程，其在 $ z \to 0 $ 处的渐近行为决定了通解中的系数。
• 将GMC构造的渐近行为与超几何解匹配，得到 $ \lambda_1 = C(\alpha_1 - \gamma/2, \alpha_2, \alpha_3) $，$ \lambda_2 = \lambda_3 = 0 $，且 $ \lambda_4 $ 非平凡，从而导出DOZZ公式。
• 比值 $ \frac{C(\alpha_1 + \gamma/2, \alpha_2, \alpha_3)}{C(\alpha_1 - \gamma/2, \alpha_2, \alpha_3)} $ 显式地以Barnes G函数比值和伽马函数表示。
• 在Seiberg界 $ \alpha_1 < Q - \gamma/2 $ 与 $ \sum \alpha_l > 2Q + \gamma/2 $ 下，假设 $ C(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) $ 解析，可恢复DOZZ公式。
• 通过概率构造确立了Virasoro代数与局部共形不变性，证实了LCFT的量子场论结构。