[论文解读] Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness

Vladimir Temlyakov|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 7被引用 12

一句话总结

该论文提出了一种基于巴拿赫空间中弱切比雪夫贪心算法的构造性贪心算法，以实现对 Lp 空间中具有小混合光滑度的函数的最优 m 项三角逼近误差。该研究建立了首个实现 W^r_q 类在 r 较小时最佳可能逼近阶的构造性方法，解决了先前非构造性结果中的关键空白。

ABSTRACT

The paper gives a constructive method, based on greedy algorithms, that provides for the classes of functions with small mixed smoothness the best possible in the sense of order approximation error for the $m$-term approximation with respect to the trigonometric system.

研究动机与目标

• 开发一种构造性方法，用于 m 项三角逼近，以实现具有小混合光滑度的函数的最优可能逼近误差阶。
• 将先前在 Lp 空间中关于 m 项逼近的非构造性结果扩展到使用贪心算法的构造性框架。
• 解决 W^r_q 类在小光滑度 r 下最优构造性逼近的开放问题，特别是在 βp′ < r ≤ 1/q 范围内。
• 通过用定理 1.1 的系统性使用替代概率引理，统一并简化现有技术。
• 在 1 ≤ q ≤ 2 和 2 < p < ∞ 的 Lp 空间中，建立 σm(W^r_q)_p 的精确界，包括 q = 1 的困难情形。

提出的方法

• 在巴拿赫空间中使用弱切比雪夫贪心算法（WCGA），以三角函数系为基础构造 m 项逼近。
• 将文献 [16] 中的定理 1.1 作为核心工具，以确保收敛性并以嵌套方式包含所选系数（θm ⊂ θn）。
• 运用高维超十字逼近理论中的深刻结果，包括定理 1.6、定理 1.7、定理 1.8 和引理 4.2，以控制高维情况下的逼近误差。
• 引入一个新的技术引理（引理 4.3）以处理此前尚未构造性解决的关键情形 q = 1。
• 使用 A-范数 ‖f‖_A = ∑|f̂(k)| 来控制逼近误差，利用其在函数的 dyadic 分解中的可加性。
• 通过构造性框架间接应用 Rosenthal 不等式，用确定性贪心选择替代非构造性概率论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过构造性贪心算法在 Lp 空间中实现具有小混合光滑度的函数的 m 项三角逼近的最优可能逼近误差阶？
• RQ2 当 r 较小（即 r < 1）且在 1 ≤ q ≤ 2、2 < p < ∞ 范围内时，逼近误差 σm(W^r_q)_p 的行为如何？
• RQ3 是否能够通过定理 1.1 将基于引理 1.1（Rosenthal 型不等式）的非构造性结果完全构造化？
• RQ4 在 Lp 空间中，W^r_1 类的逼近误差的精确阶是多少？是否可以实现构造性逼近？
• RQ5 W^r_q 类的逼近速率与 Besov 类 B^r_{q,θ} 的逼近速率相比如何？在衰减速率和光滑度、维度依赖性方面有何差异？

主要发现

• 该论文证明了对于 W^r_q 的 m 项逼近误差满足 σm(W^r_q)_p ≍ m^{-(r−β)p/2}(log m)^{(d−1)(r(p−1)−βp)}，其中 βp′ < r ≤ 1/q 且 2 < p < ∞，且 β = 1/q − 1/p。
• 对于 q = 1 的情形，结果在对数因子 (log m)^ε 范围内最优，其中 ε > 0 为任意小的正数。
• 使用定理 1.1 允许对先前通过非构造性概率方法（如引理 1.1）获得的界实现完全构造性证明。
• W^r_q 的逼近误差严格小于 B^r_{q,2} 的逼近误差，表明 W^r_q 是 B^r_{q,2} 的真超集，因此本研究结果更强。
• 该方法对给定函数类实现了最优可能的逼近误差阶，与文献中已知的下界完全一致。
• 该论文解决了构造性 m 项逼近在 βp′ < r ≤ 1/q 范围内的开放问题，此前该范围在构造性设置下尚未解决。