[论文解读] Contact geometric mechanics: the Tulczyjew triples

Katarzyna Grabowska, Janusz Grabowski|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文通过用线丛 $L \to M$ 的喷层束 $J^1L$ 上的典范接触结构替代余切丛上的辛结构，将经典的 Tulczyjew 三元组推广至接触流形。该工作提出了一个接触 Tulczyjew 三元组，通过接触几何统一了哈密顿与拉格朗日形式体系，定义了接触 Legendre 映射，并利用线丛的截面作为哈密顿量与拉格朗日量，在 $J^1L$ 上建立了隐式动力学。其核心贡献在于为接触力学系统（包括非平凡拓扑情形）提供了一个自然且几何化的框架。

ABSTRACT

We propose a generalization of the classical Tulczyjew triple as a geometric tool in Hamiltonian and Lagrangian formalisms which serves for contact manifolds. The rôle of the canonical symplectic structures on cotangent bundles in Tulczyjew's case is played by the canonical contact structures on the bundles $J^1L$ of first jets of sections of line bundles $L o M$. Contact Hamiltonians and contact Lagrangians are understood as sections of certain line bundles, and they determine (generally implicit) dynamics on the contact phase space $J^1L$. We also study a contact analog of the Legendre map and the Legendre transformation of generating objects in both contact formalisms. Several explicit examples are offered.

研究动机与目标

• 将经典的 Tulczyjew 三元组形式体系从辛几何推广至接触几何，以适用于具有耗散性或标度对称性的力学系统。
• 利用线丛 $L \to M$ 的一阶喷层束 $J^1L$ 上的典范接触结构，为接触哈密顿与拉格朗日力学提供一个几何框架。
• 定义一个接触 Legendre 变换，将 $J^1L$ 上的哈密顿与拉格朗日生成对象关联起来，推广经典 Legendre 映射至接触情形。
• 通过适当线丛的截面生成的接触向量场，在 $J^1L$ 上建立隐式动力学的存在性。
• 通过使用 $\mathbb{R}^\times$-主丛及其相关的 Atiyah代数丛，处理非平凡拓扑的接触结构，实现超越局部坐标的全局形式化。

提出的方法

• 将线丛 $L \to M$ 的截面的喷层束 $J^1L$ 作为接触相空间，其上配备由对偶丛 $L^\times$ 上的 $\mathbb{R}^\times$-作用导出的典范接触结构。
• 将接触哈密顿量与拉格朗日量分别表示为 $J^1L$ 与 Atiyah 代数丛 $A(L^\times)$ 上线丛的截面，以确保与 $\mathbb{R}^\times$-齐次性的兼容性。
• 构造一个接触 Tulczyjew 三元组，作为双向量丛态射的可交换图，其中规范映射 $\alpha$ 与 $\beta$ 类似于辛情形，但已适配至接触几何。
• 通过接触形式 $\eta$ 与哈密顿截面 $h$ 定义接触哈密顿向量场，满足 $\iota_{X_h}\eta = -dh$ 与 $\iota_{X_h}d\eta = dh$。
• 将接触 Legendre 映射定义为接触相空间与 Atiyah 代数丛之间的态射，将经典 Legendre 变换推广至接触设定。
• 将该形式体系应用于非平凡接触流形，如 $J^1B$ 上的 $S^1$，利用 $\pi$-反对周期函数确保哈密顿量与拉格朗日量的全局一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的 Tulczyjew 三元组推广至接触流形，以接触结构替代辛结构？
• RQ2 $\mathbb{R}^\times$-主丛及其相关喷层束在构造 $J^1L$ 上的典范接触结构中起什么作用？
• RQ3 如何在全球范围内一致地将哈密顿量与拉格朗日量分别定义为 $J^1L$ 与 $A(L^\times)$ 上线丛的截面？
• RQ4 接触 Legendre 变换的结构是什么？它如何在接触设定中关联哈密顿与拉格朗日生成对象？
• RQ5 拓扑障碍（如非平凡的 $S^1$-丛）如何影响正则哈密顿量与拉格朗日量的存在性与形式？

主要发现

• 在 $J^1L$ 上的典范接触结构自然地由商空间 $T^*L^\times / \mathbb{R}^\times$ 给出，其中 $L^\times$ 是 $L$ 的非零截面的 $\mathbb{R}^\times$-丛，这推广了 $T^*M$ 上的辛结构。
• 接触哈密顿量是 $J^1L$ 上线丛的截面，其关联的接触向量场通过接触形式 $\eta$ 与条件 $\iota_{X_h} d\eta = dh$、$\iota_{X_h}\eta = -dh$ 定义。
• 在 $S^1$ 上的 $J^1B$ 上构造了一个非正则哈密顿量 $h(q,p,z) = \cos(q)\frac{p^2}{2} + \lambda z$，满足 $h(q+\pi,-p,-z) = -h(q,p,z)$，确保在非平凡丛上的全局一致性。
• 拉格朗日形式体系的生成族为 $L_O(q, \dot{q}, t, p, z) = p\dot{q} + tz - \cos(q)\frac{p^2}{2} - \lambda z$，其定义了一组以 $(p,z)$ 为参数的映射，与接触结构一致。
• 接触 Legendre 映射被定义为 $J^1L$ 与 Atiyah 代数丛 $A(L^\times)$ 之间的态射，将经典 Legendre 变换推广至接触设定。
• 该形式体系成功处理了非平凡拓扑的接触流形，如 $S^1$ 上的 $J^1B$，其中正则哈密顿量存在，但因 $\pi$-反对周期性约束而具有复杂形式。