[论文解读] Contact homology of $S^1$-bundles over some symplectically reduced orbifolds

Justin Pati|ArXiv.org|Oct 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文计算了具有哈密顿型黎姆作用的 $S^1$-丛在辛轨道流形上的接触同调，将布瓦吉埃斯定理由流形底面推广至轨道流形底面。结果表明，接触同调仅依赖于底面的同调与丛数据，从而在相同第一陈类下区分了 $S^2 \times S^3$ 上无穷多个非接触微分同胚的结构，即使 $c_1(\xi) = 0$ 亦成立。关键结果是通过时刻映射的莫尔斯-博特定向函数，以轨道流形陈类与马斯洛夫指标表示的分量公式。

ABSTRACT

In this paper, we compute contact homology of some quasi-regular contact structures, which admit Hamiltonian actions of Reeb type of Lie groups. We will discuss the toric contact case, (where the torus is of Reeb type), and the case of homogeneous contact manifolds. In both of these cases the quotients by the Reeb action are Kähler and admit perfect Morse-Bott functions via the moment map. It turns out that the contact homology depends only on the homology of the symplectic base and the bundle data of the contact manifolds as a circle bundle over the base. Moreover we can identify the relevant holomorphic spheres in the bases which lift to gradient trajectories of the action functional on the loop space of the symplectization of M. In order to include all toric contact manifolds we extend a result of Bourgeois to the case of circle bundles over symplectic orbifolds. In particular we are able to distinguish contact structures on many contact manifolds all in the same first Chern class of $2n$-dimensional plane distributions.

研究动机与目标

• 计算具有哈密顿型黎姆作用的 $S^1$-丛在辛轨道流形上的接触同调。
• 将布瓦吉埃斯关于辛流形上圆丛接触同调的定理推广至轨道流形底面的情形。
• 区分 $S^2 \times S^3$ 上虽具有相同第一陈类但非接触微分同胚的接触结构。
• 通过时刻映射的莫尔斯-博特定向函数与轨道流形上同调，形式化对环形及齐次接触流形的指标计算。
• 提供一种利用格罗莫夫-威滕不变量与轨道流形底面上的 $\bar{\partial}_J$-正则性计算接触同调的框架。

提出的方法

• 使用博伊蒂-王构造，将接触流形实现为辛轨道流形上的 $S^1$-丛，其曲率形式为 $d\alpha = \sum w_j \pi^*c_j$。
• 在轨道流形底面上对时刻映射分量应用莫尔斯-博特理论，利用完美莫尔斯函数简化链复形。
• 通过在轨道流形底面的球面2-胞腔上对 $c_1(T\mathcal{Z})$ 的积分计算接触同调的分量。
• 利用单连通约化轨道流形中所有二维同调均由球面生成的性质，简化马斯洛夫指标的计算。
• 利用 $\bar{\partial}_J$-正则性与横截性，确保格罗莫夫-威滕不变量在微分中定义良好。
• 通过在陈类计算中编码轨道流形奇点，将结果推广至齐次空间与加权射影空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否计算具有哈密顿型黎姆作用的 $S^1$-丛在辛轨道流形上的接触同调？
• RQ2 此类丛的接触同调如何依赖于底面轨道流形的同调与丛数据？
• RQ3 当第一陈类相同且 $c_1(\xi) = 0$ 时，能否区分 $S^2 \times S^3$ 上的接触结构？
• RQ4 轨道流形陈类与时刻映射流形在接触同调分量中起何作用？
• RQ5 布瓦吉埃斯定理能否推广至非单连通或奇异（轨道流形）底面？

主要发现

• 在辛轨道流形上的 $S^1$-丛的接触同调同构于底面的同调，其分量经由 $2m \sum \tilde{w}_j + \dim S$ 调整，其中 $m$ 为轨道重数，$\tilde{w}_j$ 为 $c_1(T\mathcal{Z})$ 的系数。
• 对于 $S^2 \times S^3$，当 $k,l$ 互素且 $k-l = c$ 时，接触结构 $\xi_{k,l}$ 尽管具有相同的第一陈类，但彼此之间均非接触微分同胚。
• 接触同调的分量为 $|p| = 4m(k+l) - 2 + d$，其中 $d = 0,2,4$，$m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$，从而在相同 $c_1(\xi)$ 类中产生无穷多个不同的接触结构。
• 接触同调通过底面的格罗莫夫-威滕不变量计算，其微分由提升至对称化流形的环路空间中梯度轨迹的全纯球面决定。
• 对于加权射影空间 $\mathbb{CP}^{n}(a_1,\dots,a_n)$，分量涉及 $2km \sum_j \frac{1}{|\Gamma_j|} + \frac{1}{2}\dim S_{T_j} + d + n - 3$，其中 $d$ 为 $0$ 到 $2n$ 之间的偶数，且 $c_1(\xi) = 0$。
• 该方法即使在 $c_1(\xi) = 0$ 时仍能区分接触结构，表明仅凭丛与轨道流形数据即可实现区分，如 $S^2 \times S^3$ 的例子所示。