[论文解读] Contact of Viscoelastic Spheres

Thomas Schwager, Thorsten Poeschel|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2002

Adhesion, Friction, and Surface Interactions被引用 6

一句话总结

本文通过粘弹性接触方程的摄动级数解，推导出粘弹性球体碰撞的速率相关法向恢复系数。其分析表明 1−ϵ ∼ g^{1/5}，解释了实验观测到的恢复系数随撞击速度增加而降低的现象，解决了常数恢复系数模型在颗粒气体动力学中应用的不足。

ABSTRACT

In a recent paper an implicit equation for contacting viscoelastic spheres was derived (Brilliantov et al. PRE 53, 5382 (1996)). Integrating this equation it can be shown that the coefficient of normal restitution depends on the impact velocity as 1-ε\sim g^{1/5}.

研究动机与目标

• 为解决在能量耗散作用下表现出聚集不稳定性、因而与常数恢复系数模型不一致的颗粒气体建模问题。
• 基于粘弹性接触力学，推导出粘弹性球体的物理上准确的、与速率相关的法向恢复系数。
• 为恢复系数和碰撞持续时间提供一个与数值结果和实验结果相符的解析解。
• 通过在阻尼参数中的摄动级数展开，将经典赫兹接触模型扩展以包含粘弹性阻尼效应。

提出的方法

• 建立包含弹性和粘性项的粘弹性球体接触运动方程，引入压缩量 ξ 和等效质量和半径。
• 利用 ρ 和撞击速度 g 对时间、速度和压缩量进行无量纲化，推导出含阻尼参数 α 的无量纲方程 (7)。
• 对 η(Θ) 使用 √Θ 的级数展开求解无量纲方程 (11)，假设 x(Θ) = v^{4/5}Θ(1+η(Θ)) 且 η(0)=0。
• 使用摄动理论至 O(α²) 阶，通过逆向碰撞匹配条件计算最大压缩量和碰撞持续时间。
• 在中点碰撞处匹配正向和逆向碰撞解，以 v 和 α 表示 v′，从而导出恢复系数 ε = v′/v。
• 推导出 ε 和碰撞持续时间 t_c 的渐近表达式，明确显示其对 g^{1/5} 的依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在粘弹性球体碰撞中，法向恢复系数 ε 如何依赖于撞击速度 g？
• RQ2 为何假设常数 ε 无法准确描述颗粒气体行为？何种替代模型可解决此问题？
• RQ3 从粘弹性接触方程中推导出的恢复系数 ε(g) 的解析形式是什么？
• RQ4 在存在粘弹性阻尼的情况下，碰撞持续时间 t_c 如何随撞击速度 g 变化？
• RQ5 摄动级数解是否能在无需数值积分的情况下准确捕捉速率相关的恢复系数行为？

主要发现

• 法向恢复系数随撞击速度增加而减小，其关系为 1−ϵ ∼ g^{1/5}，与实验数据和数值模拟结果一致。
• 恢复系数的解析解为 ε = 1 − (3/2)C₁Aρ^{2/5}g^{1/5} + O(g^{2/5})，明确体现了材料属性和撞击速度的依赖性。
• 碰撞持续时间 t_c 按 t_c ∼ g^{−1/5} 缩放，其摄动展开中包含与 g^{1/5} 成正比的修正项。
• 与无阻尼（弹性）碰撞相比，阻尼（粘弹性）碰撞中最大压缩发生得更早，且碰撞持续时间更长，这一结论在图 1 的无量纲动力学中得到验证。
• 至 O(α²) 阶的摄动级数解成功再现了数值结果，并准确捕捉了粘弹性碰撞中能量耗散的本质物理机制。
• 逆向碰撞方法使得正向与反向解在中点碰撞处得以匹配，从而无需在 Θ_c⁰ 之后直接积分即可推导出 ε(v)。