[论文解读] Contact Path Geometries

Daniel J. F. Fox|ArXiv.org|Aug 18, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文引入了五维及以上接触流形上的接触路径几何，表明当接触挠率消失时，可通过Tanaka-Morimoto-Čap-Schichl理论构造出归一化的Cartan联络。关键结果是：次级接触挠率消失意味着接触路径空间具有分裂四元数接触结构，且平坦性等价于谐波曲率分量的消失。

ABSTRACT

Contact path geometries are curved geometric structures on a contact manifold comprising smooth families of paths modeled on the family of all isotropic lines in the projectivization of a symplectic vector space. Locally such a structure is equivalent to the graphs in the space of independent and depedent variables of the family of solutions of a system of an odd number of second order ODE's subject to a single maximally non-integrable constraint. A subclass of contact path geometries is distinguished by the vanishing of an invariant contact torsion. For this subclass the equivalence problem is solved by constructing a normalized Cartan connection using the methods of Tanaka-Morimoto-Čap-Schichl. The geometric meaning of the contact torsion is described. If a secondary contact torsion vanishes then the locally defined space of contact paths admits a split quaternionic contact structure (analogous to the quaternionic contact structures studied by O. Biquard).

研究动机与目标

• 通过Cartan等价方法对五维及以上接触流形上的接触路径几何进行分类。
• 识别出由接触挠率消失所刻画的接触路径几何的规范子类。
• 通过归一化Cartan联络解决该子类的等价问题。
• 确定次级接触挠率消失的几何意义，特别是分裂四元数接触结构的出现。
• 阐明在接触路径几何的Cartan联络框架中，谐波曲率与正规性的作用。

提出的方法

• 本文将接触路径几何局部建模为带有非可积约束的2n−3个二阶ODE系统，由辛结构参数化。
• 将接触挠率定义为过滤在射影化接触丛上的符号代数与平坦模型不匹配的张量障碍。
• 利用Tanaka-Morimoto-Čap-Schichl延拓理论，在接触挠率消失时构造出正则、正规的Cartan联络。
• 分析Cartan联络的谐波曲率分量，以确定正则性与正规性的障碍。
• 利用Cartan联络的对应空间，将接触路径结构的几何与分裂四元数接触结构联系起来。
• 证明(2,-1)次齐次的谐波曲率分量消失可刻画平坦性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，(2n−1)维接触流形上的接触路径几何可局部等价于辛射影空间中 isotropic 直线的平坦模型？
• RQ2 接触挠率的几何意义是什么？为何其消失能促成归一化Cartan联络的构造？
• RQ3 次级接触挠率如何与接触路径空间上分裂四元数接触结构的存在性相关联？
• RQ4 哪些曲率分量决定了接触挠率消失的可容许接触射影结构的平坦性？
• RQ5 Cartan联络的对应空间在何种情况下在路径空间上诱导出分裂四元数接触结构？

主要发现

• 当接触挠率消失时，射影化接触丛上过滤的符号代数与平坦模型一致，从而可应用Tanaka-Morimoto-Čap-Schichl延拓理论。
• 当且仅当接触挠率消失时，存在归一化、正则且正规的Cartan联络。
• 次级接触挠率消失当且仅当接触路径空间具有分裂四元数接触结构。
• 当接触挠率消失时，唯一可能非零的谐波曲率分量是(2,-1)次齐次分量，其消失可刻画平坦性。
• 在接触挠率与次级挠率均消失的接触路径几何中，Legendrian子流形的射影化切丛像切于分裂四元数接触结构。
• 当且仅当对所有x ∈ g₀₋₁ ⊕ g₀₋₂有i(x)κ_H = 0时，Cartan联络的对应空间是正则且正规的，这意味着非正次齐次分量的消失。