[论文解读] Contact structures of arbitrary codimension and idempotents in the Heisenberg algebra

Erik van Erp|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文引入了多接触结构——任意余维的分布，其具有最大非可积性，从而推广了接触结构。证明了此类结构可通过海森堡微分算子代数中非平凡幂等元的存在性来表征，进而构造出广义的泽果投影，并给出海森堡伪微分算子 $C^*$-代数的典范分解。

ABSTRACT

A contact manifold is a manifold equipped with a distribution of codimension one that satisfies a `maximal non-integrability' condition. A standard example of a contact structure is a strictly pseudoconvex CR manifold, and operators of analytic interest are the tangential Cauchy-Riemann operator and the Szego projector onto its kernel. The Heisenberg calculus is the natural pseudodifferential calculus developed originally for the analysis of these operators. We introduce a `non-integrability' condition for a distribution of arbitrary codimension that directly generalizes the definition of a contact structure. We call such distributions polycontact structures. We prove that the polycontact condition is equivalent to the existence of generalized Szego projections in the Heisenberg calculus, and explore geometrically interesting examples of polycontact structures.

研究动机与目标

• 将接触结构的概念推广至任意余维的分布，通过定义‘最大非可积性’条件。
• 通过海森堡伪微分算子微分学中非平凡投影的存在性，建立此类分布的精确分析表征。
• 利用海森堡微分算子微分学与全纯函数演算，在多接触流形上构造广义泽果投影。
• 证明紧致多接触流形上的海森堡伪微分算子 $C^*$-代数具有两步分解序列。
• 识别出实现多接触条件的几何例子，如肥束、四元数接触流形，以及超复流形中的严格强拟凸超曲面。

提出的方法

• 将多接触结构定义为分布 $H \subset TM$，使得对任意不恒为零的1-形式 $\theta$ 满足 $\theta|_H = 0$，其限制 $d\theta|_H$ 为非退化。
• 利用李括号诱导的黎曼形式 $B: H \times H \to N$ 来刻画 $H$ 的‘扭曲性’，非退化性意味着多接触结构。
• 证明海森堡伪微分算子代数中 Hermite 理想 $I_H^0(M)$ 的非平凡幂等元存在性，等价于多接触条件。
• 在 $C^*$-代数 $\Psi_H^*$ 中应用全纯函数演算，通过 Bargmann-Fock 表示，从符号 $S^{00}_H(M)$ 构造广义泽果投影。
• 将符号代数 $S^{00}_H(M)$ 的范数闭包识别为在 $S^*N$ 上的连续 $C^*$-代数场，其纤维为 $C^*(H_m, B_\theta) \cong \mathcal{K}(H^{BF}_{m,\theta})$。
• 证明 $\Psi_H^*$ 的两步分解序列：$0 \to I_H^* \to \Psi_H^* \to C(S^*H) \to 0$ 与 $0 \to \mathcal{K} \to I_H^* \to C(S^*N, \mathcal{K}) \to 0$，推广了狄尼对接触流形的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将接触结构推广至任意余维的分布，同时保持‘最大非可积性’的性质？
• RQ2 海森堡伪微分算子微分学中非平凡幂等元的存在性，与底层分布的几何性质有何关联？
• RQ3 能否在非余维一的分布上构造广义泽果投影？在何种条件下它们存在？
• RQ4 紧致流形上具有多接触分布的海森堡伪微分算子 $C^*$-代数的结构是怎样的？
• RQ5 哪些几何结构——如肥束、四元数接触结构或共形结构——自然地产生多接触分布？

主要发现

• 分布 $H \subset TM$ 是多接触的，当且仅当对任意不恒为零的1-形式 $\theta$ 满足 $\theta|_H = 0$，其限制 $d\theta|_H$ 为非退化。
• 海森堡伪微分算子代数中存在非平凡幂等元（其核与像均为无限维）当且仅当 $H$ 是多接触的。
• 广义泽果投影存在于多接触流形上，并可通过全纯函数演算作为海森堡伪微分算子构造。
• 对紧致多接触流形，$C^*$-代数 $\Psi_H^*$ 具有两步分解：$0 \to I_H^* \to \Psi_H^* \to C(S^*H) \to 0$ 与 $0 \to \mathcal{K} \to I_H^* \to C(S^*N, \mathcal{K}) \to 0$，推广了狄尼对接触流形的结果。
• 当 $H$ 上存在相容的共形结构时，符号 $\sigma_0(m,\xi,\theta) = 2^n \exp(-\|\xi\|^2 / \|\theta\|)$（$\theta \neq 0$）唯一确定一个广义泽果投影（模紧算子扰动）。
• 海森堡群与海森堡型的幂零群是任意余维下多接触结构的实例，且具有辛曲率的肥束等价于多接触水平分布。