[论文解读] Continuity of the time and isoperimetric constants in supercritical percolation

Olivier Garet, Régine Marchand+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 28

一句话总结

该论文建立了在 $d \geq 2$ 时，超临界伯努利渗滤中时间常数和等周（切赫）常数的连续性，证明了渐近形状和等周常数均关于渗滤参数 $p$ 连续变化。该结果将先前关于有限通过时间模型的研究扩展至可能具有无限通过时间的情形，通过涉及威耳夫形状和范数连续性的几何与概率论证实现。

ABSTRACT

We consider two different objects on super-critical Bernoulli percolation on $\\mathbb{Z}^d$ : the time constant for i.i.d. first-passage percolation (for $d\\geq 2$) and the isoperimetric constant (for $d=2$). We prove that both objects are continuous with respect to the law of the environment. More precisely we prove that the isoperimetric constant of supercritical percolation in $\\mathbb{Z}^2$ is continuous in the percolation parameter. As a corollary we prove that normalized sets achieving the isoperimetric constant are continuous with respect to the Hausdroff metric. Concerning first-passage percolation, equivalently we consider the model of i.i.d. first-passage percolation on $\\mathbb{Z}^d$ with possibly infinite passage times: we associate with each edge $e$ of the graph a passage time $t(e)$ taking values in $[0,+\\infty]$, such that $\\mathbf{P}[t(e)<+\\infty] >p_c(d)$. We prove the continuity of the time constant with respect to the law of the passage times. This extends the continuity property previously proved by Cox and Kesten for first passage percolation with finite passage times.

研究动机与目标

• 建立二维超临界渗滤中等周常数（切赫常数）关于渗滤参数 $p$ 的连续性。
• 证明在超临界渗滤的无限簇上，第一通过时间渗滤的时间常数连续，即使通过时间可能为无穷。
• 证明与等周常数相关的归一化威耳夫形状在 Hausdorff 距离下关于 $p$ 连续变化。
• 将 Cox 与 Kesten 关于有限通过时间模型的连续性结果，扩展至第一通过时间渗滤中可能具有无限通过时间的情形。

提出的方法

• 利用威耳夫构造定义与切赫常数相关的等周形状，利用范数与其对偶之间的对偶性。
• 应用涉及紧致集之间 Hausdorff 距离的几何论证，证明威耳夫形状 $\widehat{W}_p$ 作为 $p$ 的函数是连续的。
• 采用范数连续性估计：当 $p$ 接近 $q$ 时，$|\beta_p(x) - \beta_q(x)| < \varepsilon$ 在单位圆上一致成立，从而确保威耳夫形状的稳定性。
• 利用 $\|\cdot\|_2$-范数对威耳夫形状及其扰动的有界性，通过缩放论证控制 Hausdorff 距离。
• 分析有限方块上 $n\varphi_n(p)$（即归一化的等周常数）的渐近行为，并证明其极限（即切赫常数）关于 $p$ 连续。
• 依赖于等周集的形状定理以及归一化集合在 Hausdorff 距离下收敛于威耳夫形状的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维超临界渗滤中，无限簇的切赫常数是否关于渗滤参数 $p$ 连续？
• RQ2 与等周常数相关的渐近形状（威耳夫晶体）在 Hausdorff 距离下是否关于 $p$ 连续变化？
• RQ3 在通过时间可能为无穷时，第一通过时间渗滤在无限簇上的时间常数是否连续？
• RQ4 是否可将时间常数的连续性结果推广至有限矩情形之外，从而扩展 Cox 与 Kesten 的先前工作？
• RQ5 当 $p$ 变化时，对偶范数 $\beta_p^*$ 如何变化？这对威耳夫形状的连续性有何含义？

主要发现

• 极限 $\lim_{n\to\infty} n\varphi_n(p)$（即切赫常数）在 $(p_c(2), 1]$ 上关于 $p$ 连续，确立了等周常数关于渗滤参数的连续性。
• 归一化威耳夫形状 $\widehat{W}_p$ 在 Hausdorff 距离下关于 $p$ 连续，满足 $\lim_{q\to p} d_H(\widehat{W}_p, \widehat{W}_q) = 0$。
• 第一通过时间渗滤在无限簇上的时间常数关于通过时间的分布是连续的，即使通过时间可能为无穷。
• 范数 $\beta_p$ 的连续性意味着其对偶范数 $\beta_p^*$ 的连续性，而后者刻画了威耳夫形状。
• 在 $p$ 的小扰动下，归一化等周集收敛于威耳夫形状的性质保持稳定，从而确保了极限形状的连续性。
• 证明依赖于对 $|p - q|$ 较小时 $\beta_p(x)$ 与 $\beta_q(x)$ 差异的统一控制，从而确保了威耳夫形状在扰动下的稳定性。