[论文解读] Continuous counterparts of Poisson and binomial distributions and their properties

Andrii Ilienko|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用 30

一句话总结

本文通过涉及不完全和完全的欧拉伽马与贝塔函数的积分表示，引入了泊松分布和二项分布的连续对应形式。证明了在经典的 $Np \to \lambda$ 条件下，连续二项分布弱收敛于连续泊松分布，并将连续泊松分布与 $γ$-过程越过固定水平的第一 passage time 联系起来。

ABSTRACT

On the basis of integral representations of Poisson and binomial distribution functions via complete and incomplete Euler Γ- and B-functions, we introduce and discuss continuous counterparts of the Poisson and binomial distributions. The former turns out to be closely related to classical Volterra functions as well. Under usual conditions, we also prove that the sequence of continuous binomial distributions converges weakly to the continuous Poisson one. At the end, we discuss a relationship between the continuous Poisson distribution and the Γ-process.

研究动机与目标

• 解决应用文献中关于“连续泊松”和“连续二项”分布定义的模糊性和不一致性。
• 建立离散泊松和二项分布的数学上严谨且概率上一致的连续对应形式。
• 在经典的 $Np \to \lambda$ 条件下，证明连续二项分布弱收敛于连续泊松分布。
• 阐明连续泊松分布与 $γ$-过程越过固定水平的第一 passage time 之间的关系。

提出的方法

• 通过上不完全伽马函数定义连续泊松分布：$\tilde{F}_{\lambda}(x) = \Gamma(x, \lambda)/\Gamma(x)$，其中 $x > 0$。
• 通过不完全贝塔函数定义连续二项分布：$\tilde{F}_{N,p}(x) = \mathrm{B}(x, N+1-x, p)/\mathrm{B}(x, N+1-x)$。
• 通过证明归一化条件成立来证明两个分布均定义良好：当 $x \to \infty$ 时，$\tilde{F}_{\lambda}(x) \to 1$；当 $x \to N+1^+$ 时，$\bar{F}_{N,p}(x) \to 1$。
• 基于区间 $[x, x+1)$ 的收敛确定类论证，证明连续二项分布弱收敛于连续泊松分布。
• 通过证明 $γ$-过程越过水平 $c$ 的首 passage time $\tau_c$，经 $\alpha$ 缩放后服从参数为 $\beta c$ 的连续泊松分布，从而建立连续泊松分布与 $γ$-过程之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么是数学上一致且概率上有意义的泊松分布的连续类比？
• RQ2 如何定义二项分布的连续对应形式，使其在结构上与离散版本保持相似？
• RQ3 在经典的 $Np \to \lambda$ 条件下，连续二项分布序列是否弱收敛于连续泊松分布？
• RQ4 连续泊松分布与 $γ$-过程越过固定水平的第一 passage time 之间存在何种关系？

主要发现

• 连续泊松分布定义为 $\tilde{F}_{\lambda}(x) = \Gamma(x, \lambda)/\Gamma(x)$，其中 $x > 0$，该定义良好且已归一化。
• 连续二项分布定义为 $\tilde{F}_{N,p}(x) = \mathrm{B}(x, N+1-x, p)/\mathrm{B}(x, N+1-x)$，其中 $0 < x \leq N+1$，该定义同样良好且已归一化。
• 在条件 $Np \to \lambda$ 下，连续二项分布序列 $\tilde{\beta}_{N,p}$ 弱收敛于连续泊松分布 $\tilde{\pi}_{\lambda}$。
• 参数为 $\alpha, \beta$ 的 $γ$-过程越过水平 $c$ 的首 passage time $\tau_c$ 满足 $\alpha \tau_c \sim \tilde{\pi}_{\beta c}$，从而建立了连续泊松分布与 $γ$-过程之间的直接联系。
• 连续泊松分布自然地作为 $γ$-过程首次超过固定阈值的时间分布出现，确认了其在连续时间随机过程中的作用。
• 所提出的连续类比与 Knuth、Marsaglia 和 Stern 的已知结果一致，并为其在模拟和随机建模中的应用提供了正式基础。