[论文解读] Continuum limit for discrete NLS with memory effect

Ricardo Grande|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文建立了具有长程相互作用和由Caputo分数阶导数控制的记忆效应的离散非线性薛定谔方程的严格连续极限。通过利用平滑效应并借鉴Hong和Yang的方法，作者证明了离散解到带记忆的分数阶NLS方程连续解的强$L^2$收敛性，且在$h \to 0$时给出了明确的收敛速率。该结果可推广至需要类似泛函分析框架的一般色散方程。

ABSTRACT

We consider a discrete nonlinear Schrödinger equation with long-range interactions and a memory effect on the infinite lattice $h\Z$ with mesh-size $h>0$. Such models are common in the study of charge and energy transport in biomolecules. Given that the distance between base pairs is small, we consider the continuum limit: a sharp approximation to the system as $h ightarrow 0$. In this limit, we prove that solutions to this discrete equation converge strongly in $L^2$ to the solution to a continuous NLS-type equation with a memory effect, and we compute the precise rate of convergence. In order to obtain these results, we generalize some recent ideas proposed by Hong and Yang in $L^2$-based spaces to classical functional settings in dispersive PDEs involving the smoothing effect and maximal function estimates, as originally introduced in the pioneering works of Kenig, Ponce and Vega. We believe that our approach may therefore be adapted to tackle continuum limits of more general dispersive equations.

研究动机与目标

• 严格推导在格点$h\mathbb{Z}$上具有长程相互作用和Caputo型记忆效应的离散非线性薛定谔方程的连续极限。
• 在$h \to 0$时，建立离散解到带记忆的连续分数阶NLS方程解的强$L^2$收敛性。
• 在连续极限中计算收敛的精确速率，克服由记忆效应引起的导数损失问题。
• 将基于平滑效应的近期技术扩展至处理受记忆效应和长程相互作用影响的离散NLS系统。
• 为收敛到连续问题的有限差分格式提供理论基础，实现具有理论保证的数值实现。

提出的方法

• 分析采用适配于格点$h\mathbb{Z}$的离散$X^{s,b}$-型空间框架，结合平滑效应以抵消记忆项引起的导数损失。
• 通过Riesz投影$R_h$将离散解$u_h$投影到连续空间，估计差值$u - p_h u_h$在混合范数$L^2_t H^{s+\sigma-\alpha}_x$下的大小。
• 关键步骤包括将非线性项误差分解为三部分：连续解对其投影的逼近、格点间距从$h$细化到$2h$，以及非线性算子在投影下的相容性。
• 利用离散Sobolev嵌入和$L^\infty$估计控制非线性项，使误差界中获得$h$的小幂次。
• 对所得不等式$\Lambda_T(u - p_h u_h) \leq o_h(1) + C(T, \|f\|_{H^{\tilde{s}}}) \cdot \Lambda_T(u - p_h u_h)(1 + \Lambda_T(u - p_h u_h)^{p-1})$应用连续性论证，证明当$h \to 0$时收敛。
• 该方法依赖于连续和离散方程在$H^s$-型空间中的适定性，其范数由初始数据$f \in H^s(\mathbb{R})$控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$h \to 0$时，具有长程相互作用和Caputo记忆效应的离散NLS方程的解是否收敛到带记忆的连续分数阶NLS方程？
• RQ2 此类离散到连续极限在$L^2$范数下的精确收敛速率是什么？
• RQ3 经典NLS中使用的平滑效应技术能否被适配以处理记忆项中分数阶Caputo导数引起的导数损失？
• RQ4 格点结构如何影响收敛性，特别是对离散色散关系的谱性质和临界点的影响？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至其他具有记忆或非局部相互作用的色散方程？

主要发现

• 当$h \to 0$时，离散解$u_h$在$L^2$范数下强收敛于带记忆的连续分数阶NLS方程的解$u$。
• 收敛速率被量化为$\|u - p_h u_h\|_{L^2_T H^{s+\sigma-\alpha}_x} = o_h(1)$，误差随$h$减小而趋于零。
• 该方法通过利用类似于KdV理论中Kato型平滑效应的平滑效应，成功克服了Caputo记忆项引起的导数损失。
• 分析表明，在假设$\lim_{n \to \infty} n^{1+\alpha} J_n = C > 0$（其中$\alpha \in (1,2)$）下，长程相互作用在极限中得以保持。
• 该框架足够稳健，可推广至需要类似泛函分析工具和平滑估计的更一般的色散方程。
• 该结果为在$h\mathbb{Z}$上使用有限差分格式模拟带记忆的连续NLS方程提供了理论依据，只要初始数据具有适当的正则性，即可保证收敛。