[论文解读] Contravariant Densities, Operational Distances and Quantum Channel Fidelities

V. P. Belavkin|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2004

Quantum Information and Cryptography参考文献 5被引用 1

一句话总结

本文引入反变迹密度，以在量子操作（通过正规CP映射）与其赫米特正算子值核之间建立一一对应关系。推导了量子操作之间的CB范数及广义CB距离的显式表达式，证明了对于类型一和类型二输入，赫林格型完全保真度距离与CB距离的等价性，并通过量子编码与纯化优化提供了操作性解释。

ABSTRACT

Introducing contravariant trace-densities for quantum states, we restore one to one correspondence between quantum operations described by normal CP maps and their trace densities as Hermitian positive operator-valued contravariant kernels. The CB-norm distance between two quantum operations with type one input algebras is explicitly expressed in terms of these densities, and this formula is also extended to a generalized CB-distances between quantum operations with type two inputs. A larger C-distance is given as the natural norm-distance for the channel densities, and another, Helinger type distance, related to minimax mean square optimization problem for purification of quantum channels, is also introduced and evaluated in terms of their contravariant trace-densities. It is proved that the Helinger type complete fidelity distance between two channels is equivalent to the CB distance at least for type one inputs, and this equivalence is also extended to type two for the generalized CB distance. An operational meaning for these distances and relative complete fidelity for quantum channels is given in terms of quantum encodings as generalized entanglements of quantum states opposite to the inputs and the output states.

研究动机与目标

• 通过使用反变核，恢复正规CP映射与其迹密度之间的一一对应关系。
• 以反变迹密度表示类型一输入代数的量子操作之间的CB范数距离。
• 将CB距离公式化方法推广至具有类型二输入的量子操作。
• 引入并评估与量子信道纯化中极小化最大均方误差优化相关的赫林格型距离。
• 通过量子编码与输入-输出态的广义纠缠，为这些距离建立操作性意义。

提出的方法

• 将反变迹密度定义为与正规CP映射对应的赫米特正算子值核。
• 将两个量子操作之间的CB范数距离表示为其反变迹密度的泛函。
• 通过广义CB范数，将CB距离公式化方法扩展至类型二输入代数。
• 将赫林格型距离引入为信道密度的自然范数距离，其源自纯化协议中的极小化最大均方估计。
• 利用迹密度计算量子信道之间的赫林格型完全保真度距离。
• 通过解析推导，建立赫林格型完全保真度距离与CB距离（对类型二情况推广）之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过反变核在量子操作与其迹密度之间恢复一一对应关系？
• RQ2 以反变迹密度表示，类型一输入代数的量子操作之间的CB范数距离的显式表达式是什么？
• RQ3 如何将CB距离推广至具有类型二输入代数的量子操作？
• RQ4 在量子信道纯化的背景下，赫林格型距离的操作意义是什么？
• RQ5 赫林格型完全保真度距离与CB距离在类型一和类型二输入代数下，其等价性在多大程度上成立？

主要发现

• 反变迹密度为正规CP映射与赫米特正算子值核之间提供了一一对应关系。
• 具有类型一输入的量子操作之间的CB范数距离，可明确以其实反变迹密度表示。
• 通过相同的迹密度框架，广义CB距离被推广至具有类型二输入的量子操作。
• 引入赫林格型距离作为信道密度的自然范数距离，并通过迹密度进行评估。
• 证明了赫林格型完全保真度距离与CB距离在类型一输入下等价。
• 当使用广义CB距离时，该等价性被扩展至类型二输入。