[论文解读] Controlled invariant sets: implicit closed-form representations and applications

Tzanis Anevlavis, Zexiang Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Fault Detection and Control Systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于离散时间线性系统中带加法扰动的鲁棒可控不变集（RCIS）的新型隐式闭式表示方法，通过使用有限输入序列实现单步计算。该方法在无扰动情况下具备高维可扩展性和完备性，在存在扰动时具有弱完备性及近似界，从而可通过线性规划（LP）、混合整数二次规划（MIQP）或二次规划（QP）等优化程序实现高效的高安全关键控制。

ABSTRACT

We revisit the problem of computing (robust) controlled invariant sets for discrete-time linear systems. Departing from previous approaches, we consider implicit, rather than explicit, representations for controlled invariant sets. Moreover, by considering such representations in the space of states and finite input sequences we obtain closed-form expressions for controlled invariant sets. An immediate advantage is the ability to handle high-dimensional systems since the closed-form expression is computed in a single step rather than iteratively. To validate the proposed method, we present thorough case studies illustrating that in safety-critical scenarios the implicit representation suffices in place of the explicit invariant set. The proposed method is complete in the absence of disturbances, and we provide a weak completeness result when disturbances are present.

研究动机与目标

• 解决传统迭代方法在高维系统中计算最大鲁棒可控不变集（RCIS）时存在的可扩展性和终止性问题。
• 通过在状态-输入序列空间中引入隐式表示，克服显式RCIS计算带来的计算负担。
• 为RCIS计算建立完备性与近似保证，涵盖无扰动和有扰动两种情形。
• 证明隐式RCIS表示足以支持实际安全关键控制应用（如模型预测控制MPC和监督控制），而无需显式计算集合。
• 利用最终周期性输入序列构建分层参数化方法，系统性地构造出规模逐渐增大的不变集。

提出的方法

• 将RCIS在状态与有限长度输入序列的联合空间中隐式表示为集合，避免显式多面体表示。
• 使用最终周期性输入序列作为参数化手段，推导出状态-输入空间中隐式RCIS的闭式表达式。
• 将RCIS表述为线性变换下多面体的原像，通过线性代数运算实现单步计算。
• 通过改变输入序列的周期长度，定义RCIS近似的分层结构，实现不变集的系统性扩展。
• 利用闵可夫斯基和与线性变换，将RCIS表示为高维多面体的投影，实现基于优化的高效评估。
• 利用优化程序（LP、MIQP、QP）评估隐式RCIS中的成员资格，使该方法在大规模系统中具有实用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为带加法扰动的离散时间线性系统推导出一种隐式闭式RCIS表示，避免迭代计算？
• RQ2 所提出的隐式RCIS表示是否具备足够的表达能力，可在无需显式集合计算的情况下支持实际安全关键控制应用？
• RQ3 在无扰动和有扰动情况下，该方法可建立何种完备性保证？
• RQ4 通过最终周期性输入序列的分层参数化，如何提升所计算RCIS的规模与质量？
• RQ5 隐式RCIS在多大程度上可通过基于优化的评估实现任意精度逼近？其误差界如何？

主要发现

• 所提方法通过闭式代数表达式实现单步RCIS计算，消除了在系统维度增大时性能急剧下降的迭代算法需求。
• 在无扰动情况下，该方法具有完备性，可任意逼近最大可控不变集（CIS）。
• 在存在扰动时，建立了弱完备性结果，所计算的RCIS被包含在最大CIS的收缩邻域内，其边界为 $ c_2 a^ au $，其中 $ a < 1 $。
• 所计算RCIS与最大CIS之间的豪斯多夫距离随输入序列时域长度呈指数衰减，确保高保真度逼近。
• 隐式RCIS表示足以支持实际安全关键控制，如案例研究所示，MPC与监督控制应用中无需显式集合计算。
• 该方法可通过标准优化程序（LP、MIQP、QP）高效评估RCIS成员资格，其性能仅受限于求解器容量，适用于大规模系统。