[论文解读] Controlling nonlinear PDEs using low-dimensional bilinear approximations obtained from data

Sebastian Peitz|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 50被引用 14

一句话总结

该论文提出了一种基于数据驱动的模型降阶框架，用于通过基于Koopman算子的双线性逼近实现实时控制非线性PDE。通过利用恒定控制输入数据构建Koopman算子的凸组合，构造低维双线性降阶模型，该方法实现了高效、实时的模型预测控制（MPC），速度提升超过六个数量级，同时在混沌区域仍保持高控制精度。

ABSTRACT

In a recent article, we presented a framework to control nonlinear partial differential equations (PDEs) by means of Koopman operator based reduced models and concepts from switched systems. The main idea was to transform a control system into a set of autonomous systems for which the optimal switching sequence has to be computed. These individual systems can be approximated very efficiently by reduced order models obtained from data, and one can guarantee equality of the full and the reduced objective function under certain assumptions. In this article, we extend these results to continuous control inputs using convex combinations of multiple Koopman operators corresponding to constant controls, which results in a bilinear control system. Although equality of the objectives can be carried over when the PDE depends linearly on the control, we show that this approach is also valid in other scenarios using several flow control examples of varying complexity.

研究动机与目标

• 解决非线性PDE实时控制的挑战，其标准空间离散化方法计算成本过高。
• 克服传统降阶模型（ROM）在捕捉复杂非线性动力学和控制依赖性方面的局限性。
• 开发一种基于数据驱动的非线性PDE低维双线性逼近方法，通过模型预测控制（MPC）实现实时高效最优控制。
• 通过利用Koopman算子对恒定控制输入进行建模，并在连续控制输入间插值，最小化训练数据需求。
• 在控制仿射假设下，确保降阶目标函数理论收敛于全阶目标函数，同时在非仿射情况下也表现出鲁棒性。

提出的方法

• 使用扩展动态模态分解（EDMD）在多个恒定控制输入下近似非线性PDE系统的Koopman算子。
• 通过线性插值不同恒定控制对应的Koopman算子，构建双线性降阶模型（K-ROM），以实现连续控制输入的表示。
• 在降阶空间中将控制问题表述为双线性最优控制问题，从而可通过标准数值方法高效求解。
• 将K-ROM集成到具有有限预测时域和滚动时域优化的模型预测控制（MPC）框架中。
• 使用低维可观测基（如DMD或径向基函数）在Koopman框架中表示状态和控制动力学。
• 通过仅在恒定控制输入轨迹上进行训练，显著减少所需数据集规模，实现数据高效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过自治系统Koopman算子的凸组合，将基于Koopman算子的降阶模型扩展至处理连续控制输入？
• RQ2 该双线性逼近是否能保持全阶控制目标函数的最优性，特别是在控制仿射动力学下？
• RQ3 该方法在控制具有混沌行为的非线性PDE（如高雷诺数下的二维Navier–Stokes方程）时表现如何？
• RQ4 Koopman ROM的精度在多大程度上依赖于降阶空间中可观测量和基函数的选择？
• RQ5 所得到的双线性ROM能否在保持控制性能的同时，实现对复杂PDE的实时控制并实现数量级的速度提升？

主要发现

• 所提出的双线性Koopman ROM在求解二维Navier–Stokes控制问题时，相比全阶有限元法（FEM）模拟，速度提升超过六个数量级。
• 在Re = 100（准周期）的流体挡板问题中，该方法实现了极佳的跟踪性能，误差极小，如图7所示。
• 在Re = 140（轻度混沌）时，由于混沌动力学和ROM精度下降，控制误差略有增加，但控制器仍表现良好。
• 即使在Re = 200（强混沌）时，该方法仍保持合理的控制性能，且增加可观测基大小（如1000个RBF）未带来显著改进，表明混沌——而非ROM精度——是主要误差来源。
• 在控制仿射系统下，证明了降阶目标函数在测度意义下收敛于全阶目标函数，且实证结果表明在非仿射情况下也具有鲁棒性。
• 该方法通过将一个50,000单元、150,000自由度的PDE降阶为12维双线性系统，实现了实时MPC，证明了其在复杂流体动力学控制中的实际可行性。