[论文解读] Convergence analysis of a Lasserre hierarchy of upper bounds for polynomial minimization on the sphere

Etienne de Klerk, Monique Laurent|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 22被引用 30

一句话总结

本文分析了在单位球面上多项式最小化问题的 Lasserre 层次上界收敛速率，表明对于任意多项式，误差以 Θ(1/r²) 的速率衰减，且该速率对线性多项式是紧致的。该方法利用平方和密度与半定规划，通过特征值重构实现，理论分析依赖于球谐函数与积分规则，以确立最优收敛速率。

ABSTRACT

We study the convergence rate of a hierarchy of upper bounds for polynomial minimization problems, proposed by Lasserre [SIAM J. Optim. 21(3) (2011), pp. 864-885], for the special case when the feasible set is the unit (hyper)sphere. The upper bound at level r of the hierarchy is defined as the minimal expected value of the polynomial over all probability distributions on the sphere, when the probability density function is a sum-of-squares polynomial of degree at most 2r with respect to the surface measure. We show that the exact rate of convergence is Theta(1/r^2), and explore the implications for the related rate of convergence for the generalized problem of moments on the sphere.

研究动机与目标

• 分析在单位球面上多项式最小化问题的 Lasserre 层次上界的收敛速率。
• 确立该层次上界在最坏情况下的精确收敛速率。
• 证明对非零线性多项式，O(1/r²) 的收敛速率是紧致的。
• 探讨该结果对球面上广义 moment 问题（GPM）的启示。

提出的方法

• 在层级 r 的上界定义为：在总次数不超过 2r 的平方和密度的概率测度下，多项式期望值的最小值。
• 利用平方和具有特征值刻画的性质，将问题重述为半定规划。
• 通过泰勒展开，将一般多项式情形约化为线性情形。
• 对线性多项式，利用球谐函数与球面上积分规则之间的联系分析收敛速率。
• 紧致性结果依赖于已知的高斯-勒让德求积节点及雅可比矩阵特征值的渐近性质。
• 通过正交多项式性质与球面上的面积测度，推导理论界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位球面上，Lasserre 层次上界对多项式最小化问题的精确收敛速率是什么？
• RQ2 O(1/r²) 的收敛速率是否对任何多项式类是紧致的？
• RQ3 上界收敛速率与球面上广义 moment 问题有何关联？
• RQ4 对特定多项式类，能否更精确地改进或刻画收敛速率？
• RQ5 Lasserre 上界与球面上的积分规则之间存在何种关系？

主要发现

• 在球面上，Lasserre 层次上界对任意多项式 f 的收敛速率为 O(1/r²)。
• 该速率是紧致的：对任意非零线性多项式 f，误差满足 f^(r) - f_min = Ω(1/r²)。
• 在球面上广义 moment 问题（GPM）中，收敛速率为 O(1/r)，弱于多项式最小化问题的 O(1/r²) 速率。
• 对球面上的有理函数最小化问题，上界层次以 O(1/r²) 的速率收敛，与多项式情形一致。
• 在层次中，最优密度函数随 r 增大而将质量集中在全局最小值点附近，且对较大的 r，其峰值与最小值点对齐。
• 分析依赖于 Lasserre 上界与球面积分规则之间的联系，利用高斯-勒让德节点的渐近结果证明紧致性。