[论文解读] Convergence and Optimal Complexity of Adaptive Finite Element Methods

Lianhua He, Aihui Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文通过一种将问题与对称椭圆问题关联的扰动框架，建立了适用于广泛椭圆PDE类（包括非对称、非线性和无界系数特征值问题）的自适应有限元方法（AFEM）的收敛性和最优复杂度。关键贡献在于提出了一套通用的收敛性和复杂度理论，并通过三个典型问题的数值实验加以验证。

ABSTRACT

In this paper, we study adaptive finite element approximations in a perturbation framework, which makes use of the existing adaptive finite element analysis of a linear symmetric elliptic problem. We prove the convergence and complexity of adaptive finite element methods for a class of elliptic partial differential equations. For illustration, we apply the general approach to obtain the convergence and complexity of adaptive finite element methods for a nonsymmetric problem, a nonlinear problem as well as an unbounded coefficient eigenvalue problem.

研究动机与目标

• 开发一种适用于远超对称问题类别的广泛椭圆PDE类的自适应有限元方法的通用收敛性和复杂度理论。
• 解决现有自适应有限元文献中对非对称和非线性椭圆问题缺乏复杂度分析的问题。
• 将最优复杂度结果扩展至无界系数特征值问题，此类问题因奇点和非紧性而具有挑战性。
• 通过代表性问题的自适应加密数值实验验证理论框架。
• 展示后验误差估计量在自适应网格策略中的效率和可靠性。

提出的方法

• 构建一种扰动论证，将一般椭圆问题与参考对称线性椭圆问题关联，从而实现已知收敛性和复杂度结果的转移。
• 利用扰动框架，推导非对称和非线性问题的拟正交性以及后验误差估计量的可靠性和效率。
• 通过证明每次自适应循环中误差和估计量的减少，建立自适应有限元方法的收敛性。
• 通过证明自由度数量相对于期望精度以最优速率增长，推导出最优复杂度。
• 将通用理论应用于三个具体问题：一个非对称PDE、一个非线性PDE（泊松-玻尔兹曼型）以及一个无界系数特征值问题（Kohn-Sham方程）。
• 采用线性和二次有限元实现自适应有限元格式，使用误差指示量指导网格加密。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在先前缺乏复杂度分析的非对称椭圆问题中，建立自适应有限元方法的收敛性和复杂度？
• RQ2 通用扰动框架能否将收敛性和复杂度结果扩展至具有最优收敛率的非线性椭圆问题？
• RQ3 该理论能否应用于具有无界系数的特征值问题，例如在量子化学中出现的问题？
• RQ4 后验误差估计量在这些多样化问题类别中的实际表现如何？
• RQ5 自适应网格在自由度与误差关系上是否实现了最优收敛率？

主要发现

• 所提出的基于扰动的框架成功证明了自适应有限元方法在非对称、非线性和无界系数特征值问题上的收敛性和最优复杂度。
• 数值结果表明，误差 $\nparallel u - u_h \nparallel_{1}$ 的收敛速率与后验误差估计量成正比，证实了估计量的效率。
• 对于线性有限元，误差的收敛速率与最优斜率 $-1/3$ 一致；对于二次元，与 $-2/3$ 一致，证实了最优逼近性质。
• 通过自适应二次有限元计算的氦原子基态能量达到 $-2.8346$ a.u.（参考值），且自由度少于 100,000。
• 自适应网格在奇点和边界层附近集中加密，如截面图所示，表明误差定位有效。
• 后验误差估计量在所有三个数值示例中均表现出高效性和可靠性，表现为误差与估计量之间的比例关系。