[论文解读] Convergence of Kaehler-Ricci flow with integral curvature bound

Fuquan Fang, Yuguang Zhang|ArXiv.org|Jul 24, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文在点态曲率算子的 $ L^n $-范数具有积分有界性的条件下，建立了在紧致 Kähler 流形上具有正第一陈类的 Kähler-Ricci 流关于 Gromov-Hausdorff 收敛到具有有限个奇点的紧致轨道丛，且在奇点之外，极限度量满足 Kähler-Ricci 孤子方程，推广了先前需要一致 Ricci 曲率有界条件的结果。

ABSTRACT

Let $g(t)$, $t\in [0, +\infty)$, be a solution of the normalized Kähler-Ricci flow on a compact Kähler $n$-manifold $M$ with $c_{1}(M)>0$ and initial metric $g (0)\in 2πc_{1}(M)$. If there is a constant $C$ independent of $t$ such that $$ \int_{M}|Rm(g(t))|^{n}dv_{t}\leq C,$$ then, for any $t_{k} o \infty$, a subsequence of $(M, g(t_{k}))$ converges to a compact orbifold $(X, h)$ with only finite many singular points $\{q_{j}\}$ in the Gromov-Hausdorff sense, where $h$ is a Kähler metric on $X\backslash \{q_{j}\}$ satisfying the Kähler-Ricci soliton equation, i.e. there is a smooth function $f$ such that $$Ric(h)-h= abla\bar{ abla}f, { m and}\it abla abla f=\bar{ abla} \bar{ abla} f=0. $$

研究动机与目标

• 研究在弱于一致 Ricci 曲率有界条件的曲率假设下，紧致 Kähler 流形上 $ c_1(M) > 0 $ 的归一化 Kähler-Ricci 流的长期行为。
• 在曲率算子的 $ L^n $-范数在时间上一致有界时，建立流收敛到具有有限奇点的轨道丛极限。
• 证明在奇点之外的极限度量满足 Kähler-Ricci 孤子方程，即使在缺乏一致 Ricci 曲率控制的条件下亦成立。
• 通过用曲率算子的 $ L^n $-可积性条件替代一致 Ricci 曲率有界条件，推广 Sesum 和 Tian 的先前结果。

提出的方法

• 通过曲率算子的 $ L^n $-范数控制和 $ \kappa $-非坍缩性，建立调和半径的下界，将 [2] 中的结果推广至 Kähler-Ricci 流设置。
• 利用 $ \kappa $-非坍缩性和体积比较来控制流的几何结构，防止曲率集中。
• 应用 Gromov-Hausdorff 紧致性定理，提取 $ (M, g(t_k)) $ 的子序列，收敛于具有有限奇点的极限轨道丛 $ (X, h) $。
• 通过分析缩放流并利用 $ C^{1,\alpha} $ 和弱 $ L^{2,n} $ 拓扑的收敛性，证明极限度量 $ h $ 在 $ X \setminus \{q_j\} $ 上满足 Kähler-Ricci 孤子方程。
• 利用 Ricci 流的紧致性定理和孤子解的结构，证明极限度量在正则部分上为 Kähler-Ricci 孤子。
• 在奇点球半径 $ r \to 0 $ 时取对角线序列，将孤子方程延拓至轨道丛正则部分的整个区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致 Kähler 流形上，当 $ c_1(M) > 0 $ 时，归一化 Kähler-Ricci 流在何种条件下以 Gromov-Hausdorff 意义收敛于轨道丛极限？
• RQ2 是否可以在不假设一致 Ricci 曲率有界性的前提下，建立极限轨道丛正则部分上 Kähler-Ricci 孤子的收敛性？
• RQ3 曲率算子的 $ L^n $-范数在控制流的几何与拓扑长期行为中起何作用？
• RQ4 $ \kappa $-非坍缩性与 $ L^n $-曲率有界性如何相互作用，以确保非坍缩极限的存在？
• RQ5 是否可通过对角化方法将极限轨道丛正则部分上的孤子结构全局延拓？

主要发现

• 对于任意满足 $ t_k \to \infty $ 的序列，若曲率算子满足 $ L^n $-有界性，则 $ (M, g(t_k)) $ 的子序列在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于具有有限个奇点 $ \{q_j\} $ 的紧致轨道丛 $ (X, h) $。
• 在 $ X \setminus \{q_j\} $ 上，极限度量 $ h $ 是满足 Kähler-Ricci 孤子方程的 Kähler 度量：$ \mathrm{Ric}(h) - h = \nabla\bar{\nabla}f $，其中 $ \nabla\nabla f = \bar{\nabla}\bar{\nabla}f = 0 $，$ f $ 为某光滑函数。
• $ \kappa $-非坍缩性与 $ L^n $-曲率有界性共同蕴含在奇点之外的内接半径有统一下界，从而可应用 Ricci 流紧致性定理。
• 极限度量 $ h $ 在奇点之外为 $ C^{1,\alpha} $-正则，并可延拓为整个轨道丛上的 $ C^0 $-轨道丛度量。
• 缩放流 $ \tilde{g}_k(\tilde{t}) $ 的收敛性表明，极限度量在正则部分的收缩邻域上满足 Kähler-Ricci 孤子方程。
• 通过在邻域半径 $ r \to 0 $ 时取对角线序列，孤子方程被延拓至整个正则部分 $ X \setminus \{q_j\} $，从而确认了全局孤子结构。