[论文解读] Convergence of maxgeneralized mean-mingeneralized mean powers of intuitionistic fuzzy matrices

Rajkumar Pradhan, Madhumangal Pal|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Multi-Criteria Decision Making参考文献 14被引用 8

一句话总结

该论文在最大广义平均-最小广义平均运算以及最大-最小与最大算术平均-最小算术平均运算的凸组合下，建立了直觉模糊矩阵（IFM）幂的收敛性。通过图论分析，证明了IFM的幂收敛于一个极限矩阵，其中所有列元素均相同，且当且仅当存在通往该列顶点的关键路径时，极限矩阵的元素为⟨1,0⟩。

ABSTRACT

Intuitionistic fuzzy relations on finite universes can be represent by intuitionistic fuzzy matrices and the limiting behavior of the power matrices depends on the algebraic operation employed on the matrices. In this paper, the power of intuitionistic fuzzy matrices with maxgeneralized mean-mingeneralized mean operation have been studied. Here it is shown that the power of intuitionistic fuzzy matrices with the said operations are always convergent. The convergence of powers for an intuitionistic fuzzy matrix with convex combination of max-min and maxarithmetic mean-minarithmetic mean are also dicussed here.

研究动机与目标

• 分析直觉模糊矩阵（IFM）在最大广义平均-最小广义平均运算下的极限行为。
• 通过广义平均运算，将经典模糊矩阵运算的收敛结果推广至直觉模糊矩阵。
• 研究在最大-最小与最大算术平均-最小算术平均运算的凸组合下的收敛性。
• 建立收敛性成立的充要条件：当且仅当底层的直觉模糊图是连通的。
• 刻画极限矩阵的结构，证明每列的所有元素均相同。

提出的方法

• 使用参数λ ∈ [0,1] 和实数p，定义IFM上的最大广义平均-最小广义平均运算，通过广义平均组合隶属度和非隶属度值。
• 利用有向直觉模糊图（IFG）建模IFM的幂，将矩阵元素解释为路径权重，其隶属度和非隶属度值具有语义意义。
• 使用递推不等式来界定连续幂之间差异的上界，表明矩阵元素序列构成柯西序列。
• 建立连续幂之间元素差异的上界为α^(m−2)⟨1,0⟩，其中0 ≤ α < 1，从而确保收敛性。
• 应用图论论证，表明收敛性仅依赖于IFG的连通性，而不依赖于传递性或紧致性。
• 证明极限矩阵中每列的元素均相同，且当且仅当存在通往该列顶点的关键路径时，所有元素为⟨1,0⟩。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最大广义平均-最小广义平均运算下，直觉模糊矩阵的幂序列是否收敛？
• RQ2 在广义平均运算下，IFM极限矩阵的列元素在何种条件下完全相同？
• RQ3 能否通过最大-最小与最大算术平均-最小算术平均运算的凸组合，保证IFM幂的收敛性？
• RQ4 底层直觉模糊图的连通性在确保IFM幂收敛中起什么作用？
• RQ5 在何种情况下，IFM极限矩阵的某一列元素全为⟨1,0⟩？

主要发现

• 在最大广义平均-最小广义平均运算下，直觉模糊矩阵的幂总是收敛于一个极限矩阵。
• 极限矩阵中每列的元素完全相同，且所有元素均为⟨1,0⟩当且仅当存在从任意顶点到该列顶点的关键路径。
• 对于最大-最小与最大算术平均-最小算术平均运算的凸组合，IFM的幂同样收敛。
• 只要底层直觉模糊图是连通的，收敛性即可保证，无论是否具有传递性或紧致性。
• 连续幂之间元素差异的上界为α^(m−2)⟨1,0⟩，其中0 ≤ α < 1，证明该序列是柯西序列，因而收敛。
• 在示例中，B^28 收敛于一个矩阵U，其所有元素均为⟨1,0⟩，验证了理论极限结构。