[论文解读] Convergence of Nonlinear Filtering for Stochastic Dynamical Systems with Lévy Noises

Huijie Qiao|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过均质化方法，研究了由 Lévy 噪声驱动的多尺度随机动力系统的非线性滤波收敛性，实现了对信号系统维度的降低。通过应用弱收敛技术，证明了即使在信号过程和观测过程均存在跳跃的情况下，慢分量的滤波分布仍会收敛到均质化极限系统的滤波分布。

ABSTRACT

We consider a nonlinear filtering problem of multiscale non-Gaussian signal processes and observation processes with jumps. Firstly, we prove that the dimension for the signal system can be reduced by a homogenized approach. Secondly, convergence of the corresponding nonlinear filtering to the homogenized filtering is shown by a weak convergence technique. Finally, we give an example to explain our result.

研究动机与目标

• 解决信号过程和观测过程均含有非高斯 Lévy 噪声的多尺度随机系统中的非线性滤波问题。
• 通过为慢分量推导均质化极限，降低信号系统的维度。
• 在时间尺度分离参数 ε → 0 的条件下，建立给定观测过程下慢分量条件分布的弱收敛性。
• 将滤波理论从扩散过程扩展至包含一般 Lévy 噪声的跳跃-扩散动力学。
• 为具有快慢分量和跳跃型噪声的复杂系统中的滤波提供严格的理论基础。

提出的方法

• 构建一个慢-快随机动力系统，其中信号（Xε）和快分量（Zε）均由 Lévy 驱动的 SDE 描述，并通过 ε 实现时间尺度分离。
• 应用均质化技术，推导出慢分量 X⁰ 的极限 SDE，用快分量 Zε 的不变测度替代其影响。
• 利用 càdlàg 路径空间上概率测度的弱收敛性，证明滤波分布的收敛性。
• 对泊松随机测度使用补偿鞅测度，以处理信号和观测过程中均存在的跳跃分量。
• 通过快分量 Zε 的紧性和矩界估计，确保在假设的遍历性和矩条件下的收敛性。
• 应用 Zakai 方程框架进行非线性滤波，并证明滤波密度弱收敛至均质化滤波分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在保持滤波精度的前提下，能否通过均质化方法降低具有 Lévy 噪声的多尺度信号系统的维度？
• RQ2 当时间尺度分离参数 ε → 0 时，慢分量的非线性滤波器是否弱收敛至均质化极限系统的滤波器？
• RQ3 信号过程和观测过程中跳跃分量如何影响滤波分布的收敛性？
• RQ4 在何种系数和噪声特性条件下，滤波分布会依分布收敛？
• RQ5 弱收敛技术能否推广至慢分量的扩散系数依赖于快分量的系统？

主要发现

• 在假设的遍历性和矩条件下，慢分量 Xε 在 D([0,T], ℝⁿ) 中弱收敛于均质化极限 X⁰，当 ε → 0 时。
• 对任意有界可测函数 ψ，条件期望 𝔼[ψ(Xεₜ) | ℱᵗ^{Yε]} 在 ε → 0 时弱收敛于 𝔼[ψ(X⁰ₜ) | ℱᵗ^{Yε]}。
• 极限滤波分布由一个均质化 SDE 描述，其有效漂移和扩散系数通过快分量的不变测度进行平均获得。
• 即使观测过程通过具有随机强度的一般 Lévy 随机测度引入跳跃分量，该收敛性依然成立。
• 当 h(x,z) = arctan(x)，f₃(s,u) = u，且 λ 为常数时，该例子满足所有所需假设，从而在具体设定中验证了理论结果。
• 通过矩界估计和 Kolmogorov 型准则，建立了快分量 Zε 的紧性，确保了有限维分布的收敛性。