[论文解读] Convergence of Rothe scheme for hemivariational inequalities of parabolic type

Piotr Kalita|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2011

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 29被引用 44

一句话总结

该论文建立了在一致凸的巴拿赫空间上，基于Clarke次微分定义的多值项的抛物型半变分不等式中Rothé方法的收敛性。通过求解时间半离散化的椭圆包含问题，并证明分段常数与分段线性逼近的收敛性，该方法提供了无需正则化即可实现的构造性存在性证明与有效的数值逼近，将先前结果推广至统一框架，同时涵盖源项与边界条件。

ABSTRACT

This article presents the convergence analysis of a sequence of piecewise constant and piecewise linear functions obtained by the Rothe method to the solution of the first order evolution partial differential inclusion $u'(t)+Au(t)+ι^*\partial J(ιu(t)) i f(t)$, where the multivalued term is given by the Clarke subdifferential of a locally Lipschitz functional. The method provides the proof of existence of solutions alternative to the ones known in literature and together with any method for underlying elliptic problem, can serve as the effective tool to approximate the solution numerically. Presented approach puts into the unified framework known results for multivalued nonmonotone source term and boundary conditions, and generalizes them to the case where the multivalued term is defined on the arbitrary reflexive Banach space as long as appropriate conditions are satisfied. In addition the results on improved convergence as well as the numerical examples are presented.

研究动机与目标

• 为涉及Clarke次微分的第一阶演化包含问题提供构造性存在性证明。
• 将Rothé方法推广至任意一致凸巴拿赫空间上的抛物型半变分不等式，其中包含多值项，统一处理源项与边界条件。
• 在不依赖正则化或平滑项的前提下，建立分段常数与分段线性Rothé逼近对真实解的收敛性。
• 构建一个数值有效的框架，利用现有的椭圆求解器处理时变问题。

提出的方法

• 通过向后欧拉格式进行时间半离散化，将时间导数替换为后向差分商。
• 在每个时间步长求解一系列椭圆变分不等式，其中多值项由局部Lipschitz泛函的Clarke次微分给出。
• 从时间半离散解构造分段常数与分段线性函数，以逼近完整解。
• 利用Rothé方法通过逼近序列在适当函数空间中的收敛性，证明解的存在性。
• 通过选择适当的嵌入算子或迹算子，将该方法应用于源型与边界型半变分不等式。
• 在空间中采用有限元、时间中采用有限差分实现数值格式，通过在每个时间步长检查次微分图的三种情况（水平、斜向、竖直）求解所得系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rothé方法能否严格应用于基于Clarke次微分定义的多值项的抛物型半变分不等式？
• RQ2 Rothé方法是否能在统一框架下对源型与边界型半变分不等式均产生收敛逼近？
• RQ3 该方法能否在不依赖正则化或对下界/上界解的先验知识下，提供构造性存在性证明？
• RQ4 Rothé逼近的收敛行为如何，特别是在次微分非单调的情况下？
• RQ5 当次微分表现出非单调跳跃或多值性时，该方法在数值上表现如何？

主要发现

• Rothé方法在分段常数与分段线性逼近的意义下，以弱收敛的方式收敛至抛物型半变分不等式的解。
• 该方法为基于满射定理或上界/下界解技术的非构造性存在性证明提供了一种构造性替代方案。
• 对于满足单调性条件 $ H(J)_1 $ 的势函数 $ j_2 $，在每个时间步长仅数值求得一个解，表明在此参数区间内解唯一。
• 对于违反 $ H(J)_1 $ 条件的势函数 $ j_1 $，在多个时间步长中发现多个解，提示解可能不唯一。
• 数值格式通过检查次微分图的三种情况（水平、斜向、竖直）成功处理了次微分的多值性。
• 在附加假设下收敛性得到改善，且该方法对线性与非线性算子 $ A $ 均有效，只要底层椭圆问题可解。