[论文解读] Convergence of stochastic 2D inviscid Boussinesq equations with transport noise to a deterministic viscous system

Dejun Luo|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用 22

一句话总结

该论文证明，在适当的噪声标度下，带有输运型噪声的随机2D无粘Boussinesq方程的弱解会弱收敛于确定性粘性Boussinesq系统的唯一解。输运噪声在渐近意义上对系统起到正则化作用，诱导出有效的耗散，从而在极限情况下增强了粘性，为此类无粘情况提供了随机正则化机制。

ABSTRACT

The inviscid 2D Boussinesq system with thermal diffusivity and multiplicative noise of transport type is studied in the $L^2$-setting. It is shown that, under a suitable scaling of the noise, weak solutions to the stochastic 2D Boussinesq equations converge weakly to the unique solution of the deterministic viscous Boussinesq system. Consequently, the transport noise asymptotically regularizes the inviscid 2D Boussinesq system and enhances dissipation in the limit.

研究动机与目标

• 研究带有乘性输运噪声的随机2D无粘Boussinesq系统的渐近行为。
• 确定此类噪声是否诱导正则化，并在极限下导致收敛至确定性粘性系统。
• 在噪声强度的适当标度下，建立弱解的收敛性。
• 证明输运噪声作为正则化机制，有效增强极限状态下的耗散。

提出的方法

• 以涡度形式表述带有空间-时间布朗运动驱动的Stratonovich噪声的随机2D Boussinesq系统。
• 采用在环面T²上展开的傅里叶模态表示噪声，具有对称系数和白噪声时间增量。
• 应用标度极限，将噪声强度ν与系统的参数重新标度，以导出确定性粘性极限。
• 通过在分布空间中的紧致性与一致性论证，证明解的弱收敛性。
• 利用能量估计和Gronwall型论证，证明极限确定性粘性系统的唯一性。
• 使用Itô公式和先验估计控制解的增长，确保收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当标度下，将输运噪声添加到2D无粘Boussinesq系统是否会产生一个定义良好的确定性极限？
• RQ2 随机系统的弱解是否能弱收敛于确定性粘性Boussinesq系统的唯一解？
• RQ3 输运噪声在无粘状态下增强耗散和正则化解方面起什么作用？
• RQ4 噪声强度ν如何影响极限确定性系统中的有效粘性？

主要发现

• 在适当的噪声强度标度下，随机2D无粘Boussinesq方程的弱解弱收敛于确定性粘性Boussinesq系统的唯一解。
• 极限确定性系统的粘性系数等于噪声强度ν，表明噪声增强了耗散。
• 输运噪声作为正则化机制，稳定了无粘系统，并在极限下实现了全局解的存在性。
• 通过能量估计和Gronwall不等式，证明了L²初值下确定性粘性Boussinesq系统解的唯一性。
• 通过紧致性与一致性论证证明了收敛性，极限为确定性且唯一可解。
• 该结果将先前关于随机2D欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的标度极限推广至包含热效应的更复杂的Boussinesq系统。