[论文解读] Convergence of the Number of Period Sets in Strings

Éric Rivals, Michelle Sweering+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2022

Algorithms and Data Compression被引用 2

一句话总结

该论文解决了Guibas和Odlyzko（1981年）提出的长期猜想，即长度为n的字符串中有效周期集数量的对数κn，渐近收敛于ln²(n)的常数倍。作者建立了ln(κn)/ln²(n)的紧致上界，证明当n → ∞时，其收敛于1/(2 ln 2)。他们进一步将此结果扩展至两字符串之间的相关性，证明对于不同相关性数量δn，同样的渐近收敛性也成立。

ABSTRACT

Consider words of length n. The set of all periods of a word of length n is a subset of {0,1,2,…,n-1}. However, any subset of {0,1,2,…,n-1} is not necessarily a valid set of periods. In a seminal paper in 1981, Guibas and Odlyzko proposed to encode the set of periods of a word into an n long binary string, called an autocorrelation, where a one at position i denotes the period i. They considered the question of recognizing a valid period set, and also studied the number of valid period sets for strings of length n, denoted κ_n. They conjectured that ln(κ_n) asymptotically converges to a constant times ln²(n). Although improved lower bounds for ln(κ_n)/ln²(n) were proposed in 2001, the question of a tight upper bound has remained open since Guibas and Odlyzko’s paper. Here, we exhibit an upper bound for this fraction, which implies its convergence and closes this longstanding conjecture. Moreover, we extend our result to find similar bounds for the number of correlations: a generalization of autocorrelations which encodes the overlaps between two strings.

研究动机与目标

• 该论文旨在解决长期存在的开放问题，即为长度为n的字符串中有效周期集数量建立紧致上界。
• 旨在解决Guibas和Odlyzko提出的猜想，即ln(κn)渐近正比于ln²(n)。
• 作者将分析扩展至两段不同字符串之间的相关性，探究相同的渐近行为是否成立。
• 旨在通过不可约周期集的结构表征，推导出紧致的渐近界。

提出的方法

• 作者使用Rivals和Rahmann引入的不可约周期集概念，分析有效周期集的结构。
• 通过证明对所有n ≥ 2，有ln(κn) ≤ ln²(n)/(2 ln 2) + 3 ln(n)/2，推导出ln(κn)的上界。
• 证明利用了任一有效自相关均可分解为前缀零后接较短字符串的自相关这一事实。
• 他们将所有相关性∆n的集合表征为0(n−j)sj的并集，其中sj是长度为j的自相关，从而得出δn = Σj=0到n κj。
• 利用该表征，他们界定了δn，并通过已知的上下界夹逼，证明了ln(δn)/ln²(n) → 1/(2 ln 2)。
• 该分析与字母表大小无关（当|Σ| > 1时），确保结果适用于一般有限字母表上的字符串。

实验结果

研究问题

• RQ1 比值ln(κn)/ln²(n)是否渐近收敛？若是，收敛于何值？
• RQ2 能否为ln(κn)/ln²(n)建立紧致上界，从而解决Guibas和Odlyzko的猜想？
• RQ3 对于两段长度为n的不同字符串之间的相关性数量，是否也存在相同的渐近收敛行为？
• RQ4 不可约周期集如何有助于界定有效周期集的总数？

主要发现

• 该论文建立了紧致上界：对所有n ≥ 2，有ln(κn) ≤ ln²(n)/(2 ln 2) + 3 ln(n)/2。
• 这意味着当n → ∞时，ln(κn)/ln²(n) → 1/(2 ln 2)，从而解决了Guibas和Odlyzko于1981年提出的猜想。
• 对于两段长度为n的字符串之间的相关性数量δn，同样的渐近收敛性也成立：当n → ∞时，ln(δn)/ln²(n) → 1/(2 ln 2)。
• 相关性数量δn精确等于自相关计数的和：δn = Σj=0到n κj。
• 结果与字母表大小无关，只要|Σ| > 1即可。
• 该上界通过将自相关结构分解为前缀零与后缀自相关组件而推导得出。