[论文解读] Convergent semi-Lagrangian methods for the Monge-Ampère equation on unstructured grids

Xiaobing Feng, Max Jensen|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 6

一句话总结

该论文通过将Monge-Ampère方程重新表述为Hamilton-Jacobi-Bellman方程，在非结构化三角形网格上提出了一种收敛的半拉格朗日方法，消除了对显式凸性约束的需求。该方法通过单调、逐点一致且一致稳定的格式，实现了对唯一粘性解的均匀收敛，即使在非光滑和退化情况下，也通过Howard算法实现了超线性收敛。

ABSTRACT

This paper is concerned with developing and analyzing convergent semi-Lagrangian methods for the fully nonlinear elliptic Monge-Ampère equation on general triangular grids. This is done by establishing an equivalent (in the viscosity sense) Hamilton-Jacobi-Bellman formulation of the Monge-Ampère equation. A significant benefit of the reformulation is the removal of the convexity constraint from the admissible space as convexity becomes a built-in property of the new formulation. Moreover, this new approach allows one to tap the wealthy numerical methods, such as semi-Lagrangian schemes, for Hamilton-Jacobi-Bellman equations to solve Monge-Ampère type equations. It is proved that the considered numerical methods are monotone, pointwise consistent and uniformly stable. Consequently, its solutions converge uniformly to the unique convex viscosity solution of the Monge-Ampère Dirichlet problem. A super-linearly convergent Howard's algorithm, which is a Newton type method, is utilized as the nonlinear solver to take advantage of the monotonicity of the scheme. Numerical experiments are also presented to gauge the performance of the proposed numerical method and the nonlinear solver.

研究动机与目标

• 为在一般非结构化网格上求解Monge-Ampère方程时克服凸性强制的挑战。
• 为完全非线性椭圆PDE构造一种无需在离散空间中施加凸性约束的单调、一致且稳定的数值格式。
• 通过确保单调性和与宽模板有限差分格式的兼容性，使高效非线性求解器（如Howard算法）得以应用。
• 在非结构化三角形网格上建立数值解对Monge-Ampère Dirichlet问题唯一凸粘性解的收敛性。
• 通过Bellman公式将比较原理推广至非凸函数，从而在经典框架之外实现严格的收敛性分析。

提出的方法

• 在粘性意义下将Monge-Ampère方程重新表述为等价的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）形式，其算子结构天然编码了凸性。
• 在有限元背景网格上构建宽模板有限差分格式，结合三角形网格与高阶模板以逼近HJB算子。
• 通过使用尊重最大值原理并避免振荡的半拉格朗日离散化，确保格式的单调性。
• 通过使用局部插值和方向导数的半拉格朗日方法近似HJB算子，实现逐点一致性。
• 将超线性收敛的Howard算法（一种半光滑牛顿法）作为非线性求解器，利用格式的单调性实现稳健收敛。
• 采用双网格方法：使用粗略的有限元空间表示函数，使用宽模板精确离散化HJB算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 Monge-Ampère方程是否能在非结构化网格上以粘性意义重新表述为Hamilton-Jacobi-Bellman方程？
• RQ2 HJB重构是否消除了在离散解空间中显式强制凸性的需求？
• RQ3 能否在非结构化三角形网格上为HJB格式构造单调、一致且一致稳定的数值格式？
• RQ4 Howard算法是否能有效应用于求解所得非线性系统，并在非光滑和退化解情况下实现超线性收敛？
• RQ5 对于光滑和非光滑精确解，数值解在$L^2$、$L^rown$和$H^1$范数下的收敛速率是多少？

主要发现

• 所提出的半拉格朗日格式具有单调性、逐点一致性和一致稳定性，确保收敛至唯一凸粘性解。
• HJB重构消除了在离散空间中强制凸性的需求，因为凸性已内置于算子结构中。
• 对于四次精确解，$L^rown$-误差在$h$方向的收敛阶约为1.02，在$k$方向约为1.78，表明在时间类参数$k$上呈现超线性收敛。
• 对于非光滑解$|x_1|$，$L^rown$-误差在$h$方向的收敛阶为0.64，在$k$方向为1.50，即使在缺乏正则性的情况下也表现出鲁棒性。
• Howard算法在所有网格细化和模板大小下均表现出适中的迭代次数（4–16次），在细网格上实现了高效求解。
• 该方法成功计算了$|x_1|$等非光滑解（当$f=0$时），即使奇点线与网格错位，也确认了在退化情况下的鲁棒性。