[论文解读] Convergent sequences in minimal groups

Dmitri Shakhmatov|ArXiv.org|Jan 1, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文证明了每个无限极小阿贝尔群都包含一个非平凡的收敛序列，从而推广了关于紧致群的经典结果。此外，通过为每个不可数正则基数 κ 构造一个非阿贝尔极小群（在自由群 F(κ) 上），证明了阿贝尔条件是必不可少的：该群没有非平凡的收敛序列，所有紧致子集都是有限的，且所有商群都是极小的。

ABSTRACT

A Hausdorff topological group G is minimal if every continuous isomorphism f : G --> H between G and a Hausdorff topological group H is open. Clearly, every compact Hausdorff group is minimal. It is well known that every infinite compact Hausdorff group contains a non-trivial convergent sequence. We extend this result to minimal abelian groups by proving that every infinite minimal abelian group contains a non-trivial convergent sequence. Furthermore, we show that "abelian" is essential and cannot be dropped. Indeed, for every uncountable regular cardinal kappa we construct a Hausdorff group topology T_kappa on the free group F(kappa) with kappa many generators having the following properties: (i) (F(kappa), T_kappa) is a minimal group; (ii) every subset of F(kappa) of size less than kappa is T_kappa-discrete (and thus also T_kappa-closed); (iii) there are no non-trivial proper T_kappa-closed normal subgroups of F(kappa). In particular, all compact subsets of (F(kappa), T_kappa) are finite, and every Hausdorff quotient group of (F(kappa), T_kappa) is minimal (that is, (F(kappa), T_kappa) is totally minimal).

研究动机与目标

• 将经典结果（每个无限紧致豪斯多夫群都包含一个非平凡收敛序列）推广到极小阿贝尔群类。
• 通过在非阿贝尔情形构造反例，研究该推广中阿贝尔假设是否必要。
• 证明极小性本身并不保证在非阿贝尔群中存在非平凡收敛序列。
• 为不可数正则基数 κ 构造自由群 F(κ) 上的豪斯多夫群拓扑，使其具有强极小性和拓扑性质。
• 证明此类群是完全极小的，且没有非平凡的闭正规子群，所有紧致子集都是有限的。

提出的方法

• 使用 Prodanov 和 Stephenson 的极小性准则，该准则通过本质性刻画了紧致群的极小稠密子群。
• 通过将自由群 F(κ) 同构嵌入到无限对称群 S(X_κ) 中，构造其上的群拓扑，其中像为稠密子群 G_κ。
• 通过从 S(X_κ) 继承的子空间拓扑定义 F(κ) 上的拓扑，使用由有限子集 Z 和单射 φ 索引的开集基 W(X_κ, Z, φ)。
• 利用评价映射 J_γ 的单射性，证明每个 γ < κ 下 F(T_γ) 的像在 G_κ 中是离散的。
• 利用 κ 的正则性，证明任何大小小于 κ 的子集都包含于某个 F(T_γ) 中，因此是离散的。
• 通过利用逆极限结构和共尾性，证明 G_κ 在 S(X_κ) 中是稠密的，即对称群拓扑中的每个基本开集都与 G_κ 相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个无限极小阿贝尔群是否都包含一个非平凡收敛序列？
• RQ2 在极小群中，非平凡收敛序列的存在性是否依赖于阿贝尔假设？
• RQ3 一个极小非阿贝尔群是否可能不包含任何非平凡收敛序列？
• RQ4 通过极小群拓扑，可以在自由群上施加哪些拓扑和代数性质？
• RQ5 是否存在所有紧致子集都是有限的且没有非平凡闭正规子群的极小群？

主要发现

• 每个无限极小阿贝尔群都包含一个非平凡收敛序列，推广了紧致群的经典结果。
• 对每个不可数正则基数 κ，存在一个豪斯多夫群拓扑 T_κ 在自由群 F(κ) 上，使得 (F(κ), T_κ) 是极小的。
• 在 (F(κ), T_κ) 中，所有大小小于 κ 的子集都是离散且闭的，因此所有紧致子集都是有限的。
• 群 (F(κ), T_κ) 没有非平凡的真闭正规子群，且每个豪斯多夫商群都是极小的（即它是完全极小的）。
• 该构造依赖于将 F(κ) 嵌入对称群 S(X_κ) 中，通过一个稠密的同构像 G_κ，拓扑从 S(X_κ) 继承而来。
• F(κ) 与 G_κ 之间的同构确保 T_κ 是一个极小群拓扑，而 G_κ 在 S(X_κ) 中的稠密性意味着 (F(κ), T_κ) 的极小性和完全极小性。