[论文解读] Convex Bodies with affinely equivalent projections and affine bodies of revolution

Luis Montejano|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明，若 R^N 中的凸体在其所有正交 n-投影下均仿射等价，则当 n ≡ 0, 1, 2 (mod 4) 且 n ≠ 133 时，该凸体必为椭球体。证明结合了凸几何与拓扑方法，特别是将球面切丛的结构群约化至旋转体对称群，最终表明在这些条件下，此类凸体必为椭球体。

ABSTRACT

Abstract In this paper, we study affine bodies of revolution. This will allow us to prove that a convex body all whose orthogonal $n$-projections are affinely equivalent is an ellipsoid, provided $n\equiv 0,1, 2$ mod $4$, $n>1$ with the possible exemption of $n=133$. Our proof uses convex geometry and topology of compact Lie groups. AMS classification subject: 22E10, 52A05

研究动机与目标

• 确定当凸体的所有正交 n-投影均仿射等价时，其必为椭球体的条件。
• 通过拓扑与几何技术，将实 Banach 等距猜想推广至仿射情形。
• 研究对称性与结构群约化在通过投影等价性刻画椭球体中的作用。
• 解决例外情形 n=133，该情形源于例外李群 E7 的非平凡拓扑。
• 提供椭球体的刻画：即唯一满足其所有超平面投影均为仿射等价的旋转体的凸体。

提出的方法

• 利用球面 S^n 的切丛结构群约化至固定旋转体 K 的对称群 G_K。
• 应用 Gromov 的思想，将投影的仿射等价性与切丛结构群的约化联系起来。
• 利用保持凸体 K 的线性变换必保持单位球面，从而属于 O(n)，进而约化为紧子群 G_K 的事实。
• 应用引理 3.6：任何同伦于恒等映射的从 RP^n 到自身的连续映射，其预像在 RP^{n-2} 中必有非空交集。
• 结合正交投影与凸体的对称性，当假设投影非椭球时导出矛盾。
• 结合 Aleksandrov 定理（全等投影蕴含球体）与旋转体的刻画，得出椭球结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有仿射等价正交投影的凸体必为椭球体？
• RQ2 为何 n=133 在此类凸体的分类中成为例外？
• RQ3 若所有超平面投影均为旋转体，是否能推出原凸体本身为旋转体？
• RQ4 球面及其切丛的拓扑如何约束具有等价投影的凸体的对称性？
• RQ5 在投影仿射等价的条件下，S^n 的切丛结构群在多大程度上可被约化？

主要发现

• 若 R^N 中的凸体在其所有正交 n-投影下均仿射等价，则当 n ≡ 0, 1, 2 (mod 4) 且 n ≠ 133 时，该凸体必为椭球体。
• 例外情形 n=133 源于例外李群 E7 的非平凡拓扑，该拓扑阻碍了通解中关键引理的证明。
• 由于 S^n 上的结构群约化，该凸体的所有正交投影均线性等价于一个对称的旋转体。
• 该凸体必为中心对称，这是由投影的仿射等价性及关联旋转体的对称性所导致。
• 通过超平面投影仿射等价于固定旋转体来刻画椭球体的结论在 n ≥ 4 时成立。
• 证明表明：若对称凸体的所有超平面投影均仿射等价于一个旋转体，则该凸体必为椭球体。