[论文解读] Convex Constrained Semialgebraic Volume Optimization: Application in Systems and Control

Ashkan Jasour, Constantino Lagoa|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2017

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文提出了一种凸约束半代数体积优化框架，将非凸系统与控制问题（如概率控制、吸引域近似和不变集计算）重新表述为一系列凸半定规划（SDP）的层次结构。通过利用测度与矩理论以及平方和（SOS）多项式表示，该方法提供了收敛的SDP松弛，其最优值趋近于可行集的真实体积，从而为原本难以处理的问题提供了可计算且全局收敛的解决方案。

ABSTRACT

In this paper, we generalize the chance optimization problems and introduce constrained volume optimization where enables us to obtain convex formulation for challenging problems in systems and control. We show that many different problems can be cast as a particular cases of this framework. In constrained volume optimization, we aim at maximizing the volume of a semialgebraic set under some semialgebraic constraints. Building on the theory of measures and moments, a sequence of semidefinite programs are provided, whose sequence of optimal values is shown to converge to the optimal value of the original problem. We show that different problems in the area of systems and control that are known to be nonconvex can be reformulated as special cases of this framework. Particularly, in this work, we address the problems of probabilistic control of uncertain systems as well as inner approximation of region of attraction and invariant sets of polynomial systems. Numerical examples are presented to illustrate the computational performance of the proposed approach.

研究动机与目标

• 开发一种非凸系统与控制问题的凸松弛框架，以解决原本计算上不可行的问题。
• 通过将半代数约束下的体积最大化问题形式化为凸可计算问题，推广机会约束优化。
• 通过半代数集体积最大化，实现多项式系统中吸引域和不变集的内逼近。
• 提供一组半定规划（SDP）的层次结构，其最优值收敛于受约束集合的真实最优体积。
• 基于测度与矩理论及平方和多项式表示，建立理论收敛保证。

提出的方法

• 将问题表述为在约束 S1(a) ⊆ S2(a) 下最大化半代数集 S1(a) 的体积，其中两个集合均由多项式不等式定义。
• 利用测度与矩理论，将体积表示为Borel测度上的积分，将问题转化为非负测度上的线性泛函最大化问题。
• 通过平方和（SOS）表示生成的矩矩阵和局部化矩阵，构建有限维半定规划（SDP）的层次结构。
• 利用Lasserre层次结构生成一系列凸SDP松弛，其最优值收敛于受约束集合的真实最优体积。
• 在紧致性和内部性条件下，应用无限维空间线性规划的对偶理论，建立零对偶间隙。
• 通过L1-范数最小化与SOS松弛，对指示函数进行多项式逼近，以近似可行集的特征函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过矩方法与平方和技术，将系统与控制中的非凸体积最大化问题重新表述为凸优化问题？
• RQ2 一组半定规划（SDP）的层次结构是否能为受约束的半代数集合的最优体积提供收敛逼近？
• RQ3 所提出的框架能否通过体积最大化有效近似多项式系统的吸引域与不变集？
• RQ4 哪些理论条件可确保原测度问题与其对偶SDP松弛之间实现零对偶间隙？
• RQ5 SDP层次结构的收敛性如何依赖于多项式逼近的次数与约束结构？

主要发现

• 所提出的SDP松弛层次结构提供了一组收敛的最优值序列，其趋近于受约束半代数集合的真实最优体积。
• 在可行集具有紧致性和内部性等温和假设下，该方法可实现对原非凸问题最优解的全局收敛。
• 数值实验表明，该方法在基准系统与控制问题中具有良好的计算性能与实际可行性。
• 无限维测度问题与其有限维SDP松弛之间的对偶间隙为零，由序列Banach-Alaoglu定理与弱-*连续性保证。
• 随着逼近次数的增加，指示函数的多项式逼近收敛于真实指示函数，从而确保可行集 Ad 收敛于真实可行集 AF。
• 该方法成功地将概率控制、吸引域和不变集问题重新表述为具有可证明收敛性的凸体积最大化问题。