[论文解读] Convex RP^2 Structures and Cubic Differentials under Neck Separation

John Loftin|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文建立了闭合定向亏格 $g \geq 2$ 曲面的正则凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构的模空间与 Deligne-Mumford compactification $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上正则三次微分丛的总空间之间的同胚，通过颈部分离沿简单闭曲线的退化情形扩展了全纯坐标。该结果依赖于仿射球的统一估计以及在黎曼曲面退化下的投影结构收敛性。

ABSTRACT

Let S be a closed oriented surface of genus at least two. Labourie and the author have independently used the theory of hyperbolic affine spheres to find a natural correspondence between convex RP^2 structures on S and pairs (Σ,U) consisting of a conformal structure Σon S and a holomorphic cubic differential U over Σ. The pairs (Σ,U$, for Σvarying in moduli space, allow us to define natural holomorphic coordinates on the moduli space of convex RP^2 structures. We consider geometric limits of convex RP^2 structures on S in which the RP^2 structure degenerates only along a set of simple, non-intersecting, non-homotopic loops c. We classify the resulting RP^2 structures on S-c and call them regular convex RP^2 structures. We put a natural topology on the moduli space of all regular convex RP^2 structures on S and show that this space is naturally homeomorphic to the total space of the vector bundle over the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves each of whose fibers over a noded Riemann surface is the space of regular cubic differentials. In other words, we can extend our holomorphic coordinates to bordify the moduli space of convex RP^2 structures along all neck pinches. The proof relies on previous techniques of the author, Benoist-Hulin, and Dumas-Wolf, as well as some details due to Wolpert of the geometry of hyperbolic metrics on conformal surfaces in the Deligne-Mumford compactification.

研究动机与目标

• 将亏格 $g \geq 2$ 曲面上凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构的全纯坐标系扩展至包含几何退化的情形。
• 分类当曲面沿一组互不同伦的简单闭曲线退化时所出现的极限 $\mathbb{RP}^2$ 结构。
• 在模空间上定义一种自然的拓扑结构，使其在颈缩处连续延拓。
• 证明此类结构的模空间自然同胚于 Deligne-Mumford compactification $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上正则三次微分丛的总空间。

提出的方法

• 利用双曲仿射球理论，建立凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构与对 $(\Sigma, U)$ 之间的对应关系，其中 $\Sigma$ 为共形结构，$U$ 为全纯三次微分。
• 应用 C.P. Wang 的仿射球上 PDE 的统一次解与超解估计，以控制黎曼曲面退化时的收敛性。
• 应用 Benoist-Hulin 的投影不变量收敛理论，适用于凸区域在 Hausdorff 收敛下的收敛性。
• 利用 Dumas-Wolf 关于仿射球方程解的唯一性结果，识别极限结构。
• 使用反函数定理与横截性论证，确保在收敛过程中点与项目平面上的界椭圆配置的统一控制。
• 构造一种与 Harvey 的 Chabauty 拓扑类似的模空间拓扑，确保几何极限的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底曲面沿一条简单、不相交且不伦同的环路发生颈缩时，凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构如何退化？
• RQ2 在极限中，退化曲线的补集上会出现何种精确的几何结构？
• RQ3 在 Deligne-Mumford compactification 的边界上，凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构模空间上定义的全纯坐标能否连续延拓？
• RQ4 三次微分的留数在决定节点附近端部的单值化和几何结构中起什么作用？
• RQ5 正则凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构模空间的拓扑与 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上正则三次微分丛之间有何关系？

主要发现

• 闭合定向亏格 $g \geq 2$ 曲面上正则凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构的模空间自然同胚于 Deligne-Mumford compactification $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上正则三次微分丛的总空间。
• 对每个具有节点的黎曼曲面 $\Sigma$ 及其上的正则三次微分 $U$，在非奇异部分 $\Sigma^{\rm reg}$ 上存在唯一的正则凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构，其端部几何由 $U$ 在节点处的留数决定。
• 当三次微分在三阶极点处的留数 $R$ 满足 ${\rm Re}\,R \neq 0$ 时，端部的单值化为双曲型；若 $R \neq 0$ 但 ${\rm Re}\,R = 0$，则单值化为拟双曲型；若 $R = 0$，则端部为抛物型。
• 此类端部相关的 Blaschke 度量是完备的，且渐近平坦，具有有限直径。
• 沿颈部分离的凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构序列的收敛在所定义的拓扑下是连续的，且极限在 $\mathbf{SL}(3,\mathbb{R})$-作用下唯一确定。
• 从正则凸 $\mathbb{RP}^2$ 结构模空间到对 $(\Sigma, U)$ 空间的逆映射是连续的，从而确立了同胚关系。